Parabolisk bana - Parabolic trajectory

Den gröna vägen i den här bilden är ett exempel på en parabolisk bana.

En parabolisk bana avbildas i den nedre vänstra kvadranten i detta diagram, där gravitationspotentialbrunnen för den centrala massan visar potentiell energi och den kinetiska energin för den paraboliska banan visas i rött. Höjden på rörelseenergin minskar asymptotiskt mot noll när hastigheten minskar och avståndet ökar enligt Keplers lagar.

Del av en serie om
Astrodynamik
Orbitalmekanik
Orbitalelement
Typer av tvåkroppsbanor , efter excentricitet
Ekvationer
Himmelsk mekanik
Gravitationspåverkan
N-kroppsbanor
Teknik och effektivitet
Preflight -teknik
Effektivitetsåtgärder
v t e

I astrodynamik eller himmelsk mekanik är en parabolisk bana en Kepler -bana med excentriciteten lika med 1 och är en obunden bana som ligger exakt på gränsen mellan elliptisk och hyperbolisk. När man rör sig bort från källan kallas det en flyktbana , annars en fångstbana . Det är också ibland hänvisad till som en C ₃  = 0 omloppsbana (se Karakteristisk energi ).

Under standardantaganden kommer en kropp som reser längs en flyktbana att köra längs en parabolisk bana till oändlighet, med hastighet i förhållande till den centrala kroppen som tenderar till noll och kommer därför aldrig att återvända. Paraboliska banor är flyktbanor med minimienergi, som skiljer hyperboliska positiva energibanor från elliptiska banor med negativ energi .

Hastighet

Den omloppshastighet ( ) hos en kropp som färdas längs parabolisk bana kan beräknas som: ${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \ mu \ över r}}}$

var:

• ${\ displaystyle r}$är den radiella avståndet mellan kretsande kropp och centrala kroppen ,
• ${\ displaystyle \ mu}$är standard gravitationsparametern .

Vid vilken position som helst har den kretsande kroppen rymningshastigheten för den positionen.

Om en kropp har en flykthastighet med avseende på jorden, är detta inte tillräckligt för att fly från solsystemet, så nära jorden liknar omloppsbanan en parabel, men längre bort böjer den sig till en elliptisk bana runt solen.

Denna hastighet ( ) är nära besläktad med orbitalhastigheten för en kropp i en cirkulär omloppsbana i radien lika med den radiella positionen för den kretsande kroppen på den paraboliska banan: ${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v = {\ sqrt {2}} \, v_ {o}}$

var:

• ${\ displaystyle v_ {o}}$är orbitalhastigheten för en kropp i cirkulär bana .

Rörelseekvation

För en kropp som rör sig längs denna typ av bana blir en orbitalekvation :

${\ displaystyle r = {h^{2} \ över \ mu} {1 \ över {1+ \ cos \ nu}}}$

var:

• ${\ displaystyle r \,}$är radiellt avstånd för kretsande kropp från centrala kroppen ,
• ${\ displaystyle h \,}$är specifik vinkelmoment för den kretsande kroppen ,
• ${\ displaystyle \ nu \,}$är en verklig anomali hos den kretsande kroppen,
• ${\ displaystyle \ mu \,}$är standard gravitationsparametern .

Energi

Under standardantaganden är den specifika orbitalenergin ( ) för en parabolisk bana noll, så orbital energibesparingsekvationen för denna bana tar formen: ${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle \ epsilon = {v^{2} \ over 2}-{\ mu \ over r} = 0}$

var:

• ${\ displaystyle v \,}$är omloppshastigheten för den kretsande kroppen,
• ${\ displaystyle r \,}$är radiellt avstånd för kretsande kropp från centrala kroppen ,
• ${\ displaystyle \ mu \,}$är standard gravitationsparametern .

Detta är helt ekvivalent med att den karakteristiska energin (kvadrat av hastigheten i oändlighet) är 0:

${\ displaystyle C_ {3} = 0}$

Barkers ekvation

Barkers ekvation relaterar flygtiden till den sanna avvikelsen i en parabolisk bana.

${\ displaystyle tT = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {p^{3}} {\ mu}}} \ vänster (D+{\ frac {1} {3}} D^ {3} \ höger)}$

Var:

• D = tan ( ν /2), ν är omloppets sanna avvikelse
• t är den aktuella tiden i sekunder
• T är tiden för periapsispassage i sekunder
• μ är standard gravitationsparametern
• p är semi-latus rectum i banan (p = h ² /μ)

Mer allmänt är tiden mellan två punkter på en bana

${\ displaystyle t_ {f} -t_ {0} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {p^{3}} {\ mu}}} \ vänster (D_ {f}+ {\ frac {1} {3}} D_ {f}^{3} -D_ {0}-{\ frac {1} {3}} D_ {0}^{3} \ höger)}$

Alternativt kan ekvationen uttryckas i termer av periapsisavstånd, i en parabolisk bana r _p = p /2:

${\ displaystyle tT = {\ sqrt {\ frac {2r_ {p}^{3}} {\ mu}}} \ vänster (D+{\ frac {1} {3}} D^{3} \ höger)}$

Till skillnad från Keplers ekvation , som används för att lösa för sanna avvikelser i elliptiska och hyperboliska banor, kan den sanna anomalin i Barkers ekvation lösas direkt för t . Om följande byten görs

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ mu} {2r_ {p}^{3}}}} (tT) \\ [3pt ] B & = {\ sqrt [{3}] {A+{\ sqrt {A^{2} +1}}}} \ end {align}}}$

sedan

${\ displaystyle \ nu = 2 \ arctan \ vänster (B-{\ frac {1} {B}} \ höger)}$

Radiell parabolisk bana

En radiell parabolisk bana är en icke-periodisk bana på en rak linje där den relativa hastigheten för de två objekten alltid är flykthastigheten . Det finns två fall: kropparna rör sig bort från varandra eller mot varandra.

Det finns ett ganska enkelt uttryck för positionen som funktion av tiden:

${\ displaystyle r = {\ sqrt [{3}] {4.5 \ mu t^{2}}}}$

var

• μ är standard gravitationsparametern
• ${\ displaystyle t = 0 \! \,}$ motsvarar den extrapolerade tiden för den fiktiva starten eller slutningen i mitten av den centrala kroppen.

Medelhastigheten från är när som helst 1,5 gånger den aktuella hastigheten, dvs 1,5 gånger den lokala flykthastigheten. ${\ displaystyle t = 0 \! \,}$

För att ha på ytan, tillämpa ett tidsskift; för jorden (och alla andra sfäriskt symmetriska kroppar med samma medeltäthet) som den centrala kroppen är denna tidsförskjutning 6 minuter och 20 sekunder; sju av dessa perioder senare är höjden över ytan tre gånger radien osv. ${\ displaystyle t = 0 \! \,}$

Se även

• Kepler -bana
• Parabel

Referenser