Korsningsnummer - Intersection number

I matematik , och särskilt i algebraisk geometri , generaliserar korsningsnumret det intuitiva begreppet att räkna antalet gånger två kurvor skär varandra till högre dimensioner, flera (mer än 2) kurvor och redogöra ordentligt för tangens . Man behöver en definition av korsningsnummer för att kunna ange resultat som Bézouts teorem .

Korsningsnumret är uppenbart i vissa fall, såsom skärningspunkten mellan x- och y- axlar som borde vara en. Komplexiteten kommer in vid beräkning av korsningar vid tangentpunkter och korsningar längs positiva dimensionella uppsättningar. Till exempel, om ett plan är tangent mot en yta längs en linje, bör korsningsnumret längs linjen vara minst två. Dessa frågor diskuteras systematiskt i korsningsteorin .

Definition för Riemann-ytor

Låt X vara en Riemann-yta . Sedan har korsningsnumret för två slutna kurvor på X en enkel definition i termer av en integral. För varje sluten kurva c på X (dvs mjuk funktion ) kan vi associera en differentiell form av kompakt stöd med egenskapen att integraler längs c kan beräknas med integraler över X : ${\ displaystyle c: S ^ {1} \ till X}$ ${\ displaystyle \ eta _ {c}}$

${\ displaystyle \ int _ {c} \ alpha = - \ iint _ {X} \ alpha \ wedge \ eta _ {c} = (\ alpha, * \ eta _ {c})}$, för varje sluten (1-) differential på X ,${\ displaystyle \ alpha}$

var är kilprodukten av skillnader, och är Hodge-stjärnan . Därefter definieras korsningsnumret för två slutna kurvor, a och b , på X som ${\ displaystyle \ wedge}$${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle a \ cdot b: = \ iint _ {X} \ eta _ {a} \ wedge \ eta _ {b} = (\ eta _ {a}, - * \ eta _ {b}) = - \ int _ {b} \ eta _ {a}}$.

De har en intuitiv definition enligt följande. De är ett slags dirac-delta längs kurvan c , som åstadkommes genom att ta differentialen för en enhetsstegfunktion som sjunker från 1 till 0 över c . Mer formellt börjar vi med att definiera för en enkel sluten kurva c på X , en funktion f _c genom att låta vara en liten remsa runt c i form av en ringring. Namnge de vänstra och högra delarna av as och . Så mindre sub-band runt C , med vänster och höger delar och . Definiera sedan f _c med ${\ displaystyle \ eta _ {c}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega \ setminus c}$${\ displaystyle \ Omega ^ {+}}$${\ displaystyle \ Omega ^ {-}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0} ^ {-}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0} ^ {+}}$

${\ displaystyle f_ {c} (x) = {\ begin {cases} 1, & x \ i \ Omega _ {0} ^ {-} \\ 0, & x \ i X \ setminus \ Omega ^ {-} \\ {\ mbox {smidig interpolation}}, & x \ i \ Omega ^ {-} \ setminus \ Omega _ {0} ^ {-} \ end {cases}}}$.

Definitionen utvidgas sedan till godtyckliga slutna kurvor. Varje sluten kurva c på X är homolog till för några enkla slutna kurvor c _i , det vill säga, ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} c_ {i}}$

${\ displaystyle \ int _ {c} \ omega = \ int _ {\ sum _ {i} k_ {i} c_ {i}} \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} \ int _ {c_ {i}} \ omega}$, för varje differential .${\ displaystyle \ omega}$

Definiera by ${\ displaystyle \ eta _ {c}}$

${\ displaystyle \ eta _ {c} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} \ eta _ {c_ {i}}}$.

Definition för algebraiska sorter

Den vanliga konstruktiva definitionen för algebraiska sorter fortskrider i steg. Definitionen nedan är skärnings antalet delare på en nonsingular variation X .

1. Det enda korsningsnumret som kan beräknas direkt från definitionen är skärningspunkten för överytor (undervarianter av X av koddimension ett) som är i allmän position vid x . Specifikt, anta att vi har en nonsingular variation X , och n hyperytor Z ₁ , ..., Z _n som har lokala ekvationer f ₁ , ..., f _n nära x för polynom f _i ( t ₁ , ..., t _n ), så att följande gäller:

• ${\ displaystyle n = \ dim _ {k} X}$.
• ${\ displaystyle f_ {i} (x) = 0}$för alla jag . (dvs x ligger i skärningspunkten mellan överytorna.)
• ${\ displaystyle \ dim _ {x} \ cap _ {i = 1} ^ {n} Z_ {i} = 0}$ (dvs. delarna är i allmän position.)
• De är nonsingular vid x .${\ displaystyle f_ {i}}$

Då är korsningsnumret vid punkten x (kallad korsningsmultipliciteten vid x )

${\ displaystyle (Z_ {1} \ cdots Z_ {n}) _ {x}: = \ dim _ {k} {\ mathcal {O}} _ {X, x} / (f_ {1}, \ dots, f_ {n})}$,

var är den lokala ringen av X vid x , och dimensionen är dimensionen som ett k -vektorutrymme. Det kan beräknas som den lokalisering , där är den maximala ideala av polynom försvinnande vid x , och U är en öppen affin uppsättning innehållande x och innehållande ingen av singulariteter i f _i . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$ ${\ displaystyle k [U] _ {{\ mathfrak {m}} _ {x}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}}$

2. Skärningstalet för överytor i allmän position definieras sedan som summan av korsningsnumren vid varje skärningspunkt.

${\ displaystyle (Z_ {1} \ cdots Z_ {n}) = \ sum _ {x \ in \ cap _ {i} Z_ {i}} (Z_ {1} \ cdots Z_ {n}) _ {x} }$

3. Utöka definitionen till effektiva delare genom linjäritet, dvs.

${\ displaystyle (nZ_ {1} \ cdots Z_ {n}) = n (Z_ {1} \ cdots Z_ {n})}$och .${\ displaystyle ((Y_ {1} + Z_ {1}) Z_ {2} \ cdots Z_ {n}) = (Y_ {1} Z_ {2} \ cdots Z_ {n}) + (Z_ {1} Z_ {2} \ cdots Z_ {n})}$

4. Extend definitionen till godtyckliga divisorer i allmänna ståndpunkt genom att märka varje divisorn har ett unikt uttryck som D = P - N för några effektiva divisorer P och N . Så låt D _i = P _i - N _i , och använd reglerna i formuläret

${\ displaystyle ((P_ {1} -N_ {1}) P_ {2} \ cdots P_ {n}) = (P_ {1} P_ {2} \ cdots P_ {n}) - (N_ {1} P_ {2} \ cdots P_ {n})}$

för att omvandla korsningen.

5. Skärningsantalet för godtyckliga delare definieras sedan med hjälp av ett " Chows rörliga lemma " som garanterar att vi kan hitta linjärt ekvivalenta delare som är i allmän position, som vi sedan kan korsa.

Observera att definitionen av korsningsnumret inte beror på i vilken ordning delarna visas i beräkningen av detta nummer.

Serres Tor-formel

Låt V och W vara två undervarianter av en icke-singulär projektiv sort X så att dim ( V ) + dim ( W ) = dim ( X ). Då förväntar vi oss att korsningen V ∩ W är en ändlig uppsättning punkter. Om vi ​​försöker räkna dem kan två typer av problem uppstå. För det första, även om den förväntade dimensionen av V ∩ W är noll, kan den faktiska skärningen ha en stor dimension. Till exempel kan vi försöka hitta självskärnings antal en projektiv linje i en projektiv plan . Det andra potentiella problemet är att även om korsningen är noll-dimensionell, kan den vara tvärgående. Till exempel, V kan vara en tangentlinje till en plan kurva W .

Det första problemet kräver korsningsteorins maskineri , som diskuterats ovan i detalj. Den väsentliga idén är att ersätta V och W med bekvämare undervarianter med hjälp av det rörliga lemmaet . Å andra sidan kan den andra problemet lösas direkt, utan att flytta V eller W . År 1965 beskrev Jean-Pierre Serre hur man hittar mångfalden av varje skärningspunkt genom metoder för kommutativ algebra och homologisk algebra . Denna koppling mellan ett geometriskt begrepp av skärningspunkt och en homologisk uppfattning om en härledd tensorprodukt har varit inflytelserik och har framför allt lett till flera homologiska antaganden i kommutativ algebra .

Den Serre Tor formel är följande resultat. Låt X vara en vanlig variation, V och W två undervarianter med komplementär dimension så att V ∩ W är noll-dimensionell. För varje punkt x ∈ V ∩ W , låt A vara den lokala ringen för x . De struktur kärvar av V och W på x motsvarar ideal I , J ⊆ A . Då den mångfald av V ∩ W vid punkten x är ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$

${\ displaystyle e (X; V, W; x) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {i} \ mathrm {length} _ {A} (\ operatorname {Tor} _ {i} ^ {A} (A / I, A / J))}$

där längden är längden på en modul över en lokal ring, och Tor är Tor-funktionen . När V och W kan flyttas till en tvärgående position ger denna homologiska formel det förväntade svaret. Så, till exempel, om V och W möts tvärs vid x , är multipliciteten 1. Om V är en tangentlinje vid en punkt x till en parabel W i ett plan vid en punkt x , så är multipliciteten vid x 2.

Om både V och W lokalt skärs ut av vanliga sekvenser , till exempel om de är icke-singulära , så försvinner i högre grad formeln Tors, varför mångfalden är positiv. Positiviteten i det godtyckliga fallet är en av Serres mångfald .

Ytterligare definitioner

Definitionen kan väsentligen generaliseras, till exempel till korsningar längs undervarianter istället för bara vid punkter, eller till godtyckliga kompletta sorter.

I algebraisk topologi visas korsningsnumret som Poincaré-dualiteten i koppprodukten . Specifikt, om två grenrör, X och Y , skär varandra i tvärriktningen i en grenröret M är homologin klass av korsningen den Poincaré dubbla av koppen produkten av Poincaré duals av X och Y . ${\ displaystyle D_ {M} X \ smile D_ {M} Y}$

Snapper – Kleiman definition av korsningsnummer

Det finns ett tillvägagångssätt för korsningsnummer, introducerat av Snapper 1959-60 och utvecklat senare av Cartier och Kleiman, som definierar ett korsningsnummer som en Euler-egenskap.

Låt X vara ett schema över ett system S , Pic ( X ) den Picard gruppen av X och G den grothendieckgrupp av kategorin koherenta kärvar på X vars stöd är korrekt över en Artinian delsystem av S .

För varje L i Pic ( X ), definiera endomorfism c ₁ ( L ) av G (kallad den första Chern-klassen av L ) genom

${\ displaystyle c_ {1} (L) F = FL ^ {- 1} \ otimes F.}$

Det är additiv på G eftersom tensoring med ett linjebunt är exakt. Man har också:

• ${\ displaystyle c_ {1} (L_ {1}) c_ {1} (L_ {2}) = c_ {1} (L_ {1}) + c_ {1} (L_ {2}) - c_ {1} (L_ {1} \ otimes L_ {2})}$; i synnerhet och pendla.${\ displaystyle c_ {1} (L_ {1})}$${\ displaystyle c_ {1} (L_ {2})}$
• ${\ displaystyle c_ {1} (L) c_ {1} (L ^ {- 1}) = c_ {1} (L) + c_ {1} (L ^ {- 1}).}$
• ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {supp} c_ {1} (L) F \ leq \ dim \ operatorname {supp} F-1}$(det här är inte privat och följer av ett argument för dévissage .)

Korsningsnumret

${\ displaystyle L_ {1} \ cdot {\ dots} \ cdot L_ {r}}$

av linje buntar L _i 's definieras då av:

${\ displaystyle L_ {1} \ cdot {\ dots} \ cdot L_ {r} \ cdot F = \ chi (c_ {1} (L_ {1}) \ cdots c_ {1} (L_ {r}) F) }$

där χ betecknar Euler-karakteristiken . Alternativt har man genom induktion:

${\ displaystyle L_ {1} \ cdot {\ dots} \ cdot L_ {r} \ cdot F = \ sum _ {0} ^ {r} (- 1) ^ {i} \ chi (\ wedge ^ {i} (\ oplus _ {0} ^ {r} L_ {j} ^ {- 1}) \ otimes F).}$

Varje gång F är fast, är en symmetrisk funktionell i L _I 's. ${\ displaystyle L_ {1} \ cdot {\ dots} \ cdot L_ {r} \ cdot F}$

Om L _i = O _X ( D _i ) för vissa Cartier-delare D _i , så skriver vi för korsningsnumret. ${\ displaystyle D_ {1} \ cdot {\ dots} \ cdot D_ {r}}$

Låt vara en morfism av S- scheman, linjebuntar på X och F i G med . Sedan ${\ displaystyle f: X \ till Y}$${\ displaystyle L_ {i}, 1 \ leq i \ leq m}$${\ displaystyle m \ geq \ dim \ operatorname {supp} F}$

${\ displaystyle f ^ {*} L_ {1} \ cdots f ^ {*} L_ {m} \ cdot F = L_ {1} \ cdots L_ {m} \ cdot f _ {*} F}$.

Korsningsmultiplikationer för plankurvor

Finns det en unik funktion tilldelning till varje triplett som består av ett par av projektiva kurvor, och , i och en punkt , ett nummer som kallas skärnings multiplicitet av och på som uppfyller följande egenskaper: ${\ displaystyle (P, Q, p)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle K [x, y]}$${\ displaystyle p \ i K ^ {2}}$${\ displaystyle I_ {p} (P, Q)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle p}$

1. ${\ displaystyle I_ {p} (P, Q) = I_ {p} (Q, P)}$
2. ${\ displaystyle I_ {p} (P, Q) = \ infty}$om och endast om och har en gemensam faktor som är noll vid${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle p}$
3. ${\ displaystyle I_ {p} (P, Q) = 0}$om och endast om en av eller inte är noll (dvs. punkten är utanför en av kurvorna)${\ displaystyle P (p)}$${\ displaystyle Q (p)}$${\ displaystyle p}$
4. ${\ displaystyle I_ {p} (x, y) = 1}$ var ${\ displaystyle p = (0,0)}$
5. ${\ displaystyle I_ {p} (P, Q_ {1} Q_ {2}) = I_ {p} (P, Q_ {1}) + I_ {p} (P, Q_ {2})}$
6. ${\ displaystyle I_ {p} (P + QR, Q) = I_ {p} (P, Q)}$ för alla ${\ displaystyle R \ i K [x, y]}$

Även om dessa egenskaper fullständigt kännetecknar skärningens mångfald, realiseras den i praktiken på flera olika sätt.

En förverkligande av skärningens mångfald är genom dimensionen av ett visst kvotutrymme i kraftserieringen . Genom att göra en förändring av variabler om det behövs kan vi anta det . Låt och vara polynomerna som definierar de algebraiska kurvorna vi är intresserade av. Om de ursprungliga ekvationerna ges i homogen form, kan dessa erhållas genom inställning . Låt beteckna idealet att genereras av och . Korsningens mångfald är dimensionen som ett vektorrymd över . ${\ displaystyle K [[x, y]]}$${\ displaystyle p = (0,0)}$${\ displaystyle P (x, y)}$${\ displaystyle Q (x, y)}$${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle I = (P, Q)}$${\ displaystyle K [[x, y]]}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle K [[x, y]] / I}$${\ displaystyle K}$

En annan insikt om korsningens mångfald kommer från resultatet av de två polynomierna och . I koordinater där kurvorna inte har några andra korsningar med , och graden av i förhållande till är lika med den totala graden av , kan definieras som den högsta kraften för det som delar resultatet av och (med och ses som polynom över ). ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle p = (0,0)}$${\ displaystyle y = 0}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle I_ {p} (P, Q)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle K [x]}$

Korsningens mångfald kan också realiseras som antalet distinkta korsningar som finns om kurvorna störs något. Mer specifikt, om och definierar kurvor som korsar bara en gång i stängningen av en öppen uppsättning , då för en tät uppsättning av , och är släta och korsar tvärs (dvs. har olika tangentlinjer) vid exakt några nummerpunkter . Vi säger då det . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle (\ epsilon, \ delta) \ i K ^ {2}}$${\ displaystyle P- \ epsilon}$${\ displaystyle Q- \ delta}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle I_ {p} (P, Q) = n}$

Exempel

Tänk på skärningspunkten mellan x -axeln och parabolen

${\ displaystyle y = x ^ {2}. \}$

Sedan

${\ displaystyle P = y, \}$

och

${\ displaystyle Q = yx ^ {2}, \}$

så

${\ displaystyle I_ {p} (P, Q) = I_ {p} (y, yx ^ {2}) = I_ {p} (y, x ^ {2}) = I_ {p} (y, x) + I_ {p} (y, x) = 1 + 1 = 2. \,}$

Således är korsningsgraden två; det är en vanlig tangens .

Självkorsningar

Några av de mest intressanta korsningsnumren att beräkna är självkorsningsnummer . Detta bör inte tas i naiv mening. Vad menas är att, i en ekvivalensklass av delare av något specifikt slag, skärs två representanter som är i allmän position med avseende på varandra. På detta sätt kan självkorsningsnummer bli väldefinierade och till och med negativa.

Applikationer

Korsningsnumret motiveras delvis av önskan att definiera korsningen för att tillfredsställa Bézouts teorem .

Skärningspunkten nummer uppstår i studiet av fasta punkter , som kan skickligt definieras som korsningar av funktionsgrafer med en diagonal . Beräkning av korsningsnumren vid de fasta punkterna räknar de fasta punkterna med mångfald och leder till Lefschetz-fasta satsen i kvantitativ form.

Anteckningar

Referenser

• William Fulton (1974). Algebraiska kurvor . Matematikföreläsningsserie. WA Benjamin. s. 74–83. ISBN 0-8053-3082-8.
• Robin Hartshorne (1977). Algebraisk geometri . Graduate Texts in Mathematics . 52 . ISBN 0-387-90244-9. Bilaga A.
• William Fulton (1998). Intersection Theory (2: a upplagan). Springer. ISBN 9780387985497.
• Algebraiska kurvor: En introduktion till algebraisk geometri , av William Fulton med Richard Weiss. New York: Benjamin, 1969. Upptryckt red .: Redwood City, CA, USA: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN  0-201-51010-3 . Fulltext online .
• Hershel M. Farkas; Irwin Kra (1980). Riemann Ytor . Graduate Texts in Mathematics . 71 . s 40–41, 55–56. ISBN 0-387-90465-4.
• Kleiman, Steven L. (2005), "The Picard scheme: Appendix B.", Fundamental algebraic geometry , Math. Surveys Monogr., 123 , Providence, RI: American Mathematical Society , arXiv : math / 0504020 , Bibcode : 2005math ...... 4020K , MR  2223410
• Kollár, János (1996), Rationella kurvor om algebraiska sorter , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, MR  1440180