Ramverket Heath – Jarrow – Morton - Heath–Jarrow–Morton framework

Den Heath-Jarrow-Morton ( HJM ) ram är en allmän ram för att modellera utvecklingen av räntekurvor - momentana räntekurvor framåt i synnerhet (i motsats till enkla terminsräntor ). När volatiliteten och driften av den momentana terminsräntan antas vara deterministisk , så kallas detta Gaussian Heath – Jarrow – Morton (HJM) -modellen för terminsräntor. För direkt modellering av enkla terminsräntor är modellen Brace – Gatarek – Musiela ett exempel.

HJM-ramverket härstammar från arbetet med David Heath , Robert A. Jarrow och Andrew Morton i slutet av 1980-talet, särskilt obligationsprissättning och termstrukturen för räntor: en ny metod (1987) - arbetsdokument, Cornell University och Bond prissättning och terminsstruktur för räntor: en ny metod (1989) - arbetsdokument (reviderad red.), Cornell University. Det har dock kritiker med Paul Wilmott som beskriver det som "... faktiskt bara en stor matta för [misstag] att svepas under".

Ramverk

Nyckeln till dessa tekniker är erkännandet att drivkrafterna för ingen variabelutveckling av vissa variabler kan uttryckas som funktioner för deras volatiliteter och korrelationerna inbördes. Med andra ord behövs ingen driftuppskattning.

Modeller som utvecklats i enlighet med ramverket HJM skiljer sig från de så kallade korta ränta modeller i den meningen att HJM-typ modeller fånga hela dynamiken i hela terminsräntekurvan , medan de korta ränte modeller fånga dynamiken i en punkt på kurvan (den korta räntan).

Modeller som utvecklats enligt det allmänna HJM-ramverket är dock ofta icke- markoviska och kan till och med ha oändliga dimensioner. Ett antal forskare har bidragit mycket för att ta itu med detta problem. De visar att om terminsräntornas volatilitetsstruktur uppfyller vissa villkor, kan en HJM-modell helt och hållet uttryckas av ett ändligt tillstånd från Markovian, vilket gör det beräkningsmässigt genomförbart. Exempel inkluderar en enfaktors, tvåstatsmodell (O. Cheyette, "Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken och L. Sankarasubramanian i "Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics of Term Structure ", Mathematical Finance , 5, No. 1, Jan 1995) och senare versioner med flera faktorer.

Matematisk formulering

Modellen som utvecklats av Heath, Jarrow och Morton (1992) är baserad på modellering av terminsräntorna, men ändå fångar den inte alla komplexiteten i en utvecklad termstruktur.

Modellen börjar med att införa den momentana hastigheten , som definieras som den kontinuerliga sammansättningshastigheten som är tillgänglig vid tidpunkten sett från tid . Förhållandet mellan obligationspriser och terminsränta tillhandahålls också på följande sätt: ${\ displaystyle \ textstyle f (t, T)}$ ${\ displaystyle \ textstyle t \ leq T}$ ${\ displaystyle \ textstyle T}$ ${\ displaystyle \ textstyle t}$

{\ displaystyle P (t, T) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} f (t, s) ds}}

Här är priset vid tiden för en nollkupongobligation som betalar 1 dollar vid förfallodagen . Det riskfria penningmarknadskontot definieras också som ${\ displaystyle \ textstyle P (t, T)}$ ${\ displaystyle \ textstyle t}$ ${\ displaystyle \ textstyle T \ geq t}$

{\ displaystyle \ beta (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} f (u, u) du}}

Denna sista ekvation låter oss definiera , den riskfria korta räntan. HJM-ramverket förutsätter att dynamiken i en riskneutral prissättning är följande: ${\ displaystyle \ textstyle f (t, t) \ triangleq r (t)}$ ${\ displaystyle \ textstyle f (t, s)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$

{\ displaystyle df (t, s) = \ mu (t, s) dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) dW_ {t}}

Där är en -dimensionell Wiener process och , är anpassade processer . Nu baserat på dessa dynamik för , försöker vi hitta dynamiken för och hitta de villkor som måste uppfyllas enligt riskneutrala prisregler. Låt oss definiera följande process: ${\ displaystyle \ textstyle W_ {t}}$ ${\ displaystyle \ textstyle d}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mu (u, s)}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (u, s)}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {F}} _ {u}}$ ${\ displaystyle \ textstyle f}$ ${\ displaystyle \ textstyle P (t, s)}$

{\ displaystyle Y_ {t} \ triangleq \ log P (t, s) = - \ int _ {t} ^ {s} f (t, u) du}

Dynamiken av kan erhållas genom Leibniz regel : ${\ displaystyle \ textstyle Y_ {t}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} dY_ {t} & = f (t, t) dt- \ int _ {t} ^ {s} df (t, u) du \\ & = r_ {t} dt- \ int _ {t} ^ {s} \ mu (t, u) dtdu- \ int _ {t} ^ {s} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) dW_ {t} du \ end { Justerat}}}

Om vi definierar , och antar att villkoren för Fubinis sats är uppfyllda i formeln för dynamiken i , får vi: ${\ displaystyle \ textstyle \ mu (t, s) ^ {*} = \ int _ {t} ^ {s} \ mu (t, u) du}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} = \ int _ {t} ^ {s} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) du}$ ${\ displaystyle \ textstyle Y_ {t}}$

{\ displaystyle dY_ {t} = \ left (r_ {t} - \ mu (t, s) ^ {*} \ right) dt - {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} dW_ {t}}

Enligt Itos lemma är dynamiken i då: ${\ displaystyle \ textstyle P (t, T)}$

{\ displaystyle {\ frac {dP (t, s)} {P (t, s)}} = \ left (r_ {t} - \ mu (t, s) ^ {*} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {* T} \ höger) dt - {\ boldsymbol {\ sigma }} (t, s) ^ {*} dW_ {t}}

Men måste vara en martingale enligt prissättningen , så vi kräver det . Att differentiera detta med avseende på får vi: ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {P (t, s)} {\ beta (t)}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mu (t, s) ^ {*} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} {\ boldsymbol {\ sigma }} (t, s) ^ {* T}}$ ${\ displaystyle \ textstyle s}$