Fock-tillstånd - Fock state

I kvantmekanik är ett Fock-tillstånd eller taltillstånd ett kvanttillstånd som är ett element i ett Fock-utrymme med ett väldefinierat antal partiklar (eller kvantor ). Dessa stater är uppkallade efter den sovjetiska fysikern Vladimir Fock . Fock-stater spelar en viktig roll i den andra kvantiseringsformuleringen av kvantmekanik.

Partikelrepresentationen behandlades först i detalj av Paul Dirac för bosoner och av Pascual Jordan och Eugene Wigner för fermioner . Fock-staterna bosoner och fermioner följer användbara relationer med avseende på Focks rymdskapande och förintelseoperatörer .

Definition

Man specificerar ett multipartikeltillstånd av N icke-interagerande identiska partiklar genom att skriva tillståndet som en summa av tensorprodukter av N enpartikeltillstånd. Dessutom, beroende på fullständighet av partiklarnas spinn måste tensorprodukter vara alternerande (anti-symmetriska) eller symmetriska produkter av den underliggande one-partikel Hilbert space . Specifikt:

• Fermioner , som har ett halvt heltal snurr och följer Pauli-uteslutningsprincipen , motsvarar antisymmetriska tensorprodukter.
• Bosoner som har heltalssnurr (och inte regleras av uteslutningsprincipen) motsvarar symmetriska tensorprodukter.

Om antalet partiklar är variabelt konstruerar man Fock-utrymmet som den direkta summan av tensorprodukten som Hilbert rymmer för varje partikelnummer . I Fock-utrymmet är det möjligt att specificera samma tillstånd i en ny notation, beläggningsnummernotationen, genom att ange antalet partiklar i varje möjligt enpartikel-tillstånd.

Låta vara en ortonormal grund för tillstånd i det underliggande Hilbert-rummet med en partikel. Detta inducerar en motsvarande bas för Fock-utrymmet som kallas "beläggningsnummerbas". Ett kvanttillstånd i Fock-utrymmet kallas ett Fock-tillstånd om det är en del av beläggningsnummerbasen. ${\ textstyle \ left \ {\ mathbf {k} _ {i} \ right \} _ {i \ i I}}$

En Fock state uppfyller ett viktigt kriterium: för varje i , är tillståndet en eigenstate av partikelantal operatören motsvarande den i : te elementära tillstånd k _i . Motsvarande egenvärde ger antalet partiklar i tillståndet. Detta kriterium definierar nästan Fock-tillstånden (man måste dessutom välja en fasfaktor). ${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}}}$

Ett givet Fock-tillstånd betecknas med . I detta uttryck betecknar antalet partiklar i den i: te tillståndet k _i , och partikelantals operatör för det i: te tillståndet, , verkar på Fock tillståndet på följande sätt: ${\ displaystyle | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, .. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} ... \ rangle}$${\ displaystyle n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}$${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, .. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} ... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, .. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} ... \ rangle}$

Därför är Fock-tillståndet en egenstat för nummeroperatören med egenvärde . ${\ displaystyle n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}$

Fock-stater utgör ofta den mest bekväma grunden för ett Fock-utrymme. Element i ett Fock-utrymme som är överlagringar av tillstånd med olika partikelnummer (och därmed inte egenstatus för nummeroperatören) är inte Fock-tillstånd. Av denna anledning kallas inte alla element i ett Fock-utrymme som "Fock-tillstånd".

Om vi ​​definierar den samlade partikelnummeroperatören som ${\ textstyle {\ widehat {N}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {N}} = \ sum _ {i} {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}},}$

definitionen av Fock statliga säkerställer att variansen av mätningen , dvs mätning av antalet partiklar i ett Fock tillstånd alltid returnerar ett bestämt värde utan någon fluktuation. ${\ displaystyle \ operatorname {Var} \ left ({\ widehat {N}} \ right) = 0}$

Exempel på användning av två partiklar

För alla slutliga tillstånd , alla Fock-tillstånd av två identiska partiklar som ges av , och alla operatörer , har vi följande villkor för oskiljbarhet : ${\ displaystyle | f \ rangle}$${\ displaystyle | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {O}}}}$

${\ displaystyle \ left | \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ { 2}} \ höger \ rangle \ höger | ^ {2} = \ vänster | \ vänster \ langle f \ vänster | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ höger | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle \ right | ^ {2}}$.

Så vi måste ha ${\ displaystyle \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ höger \ rangle = e ^ {i \ delta} \ vänster \ langle f \ vänster | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ höger | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ höger \ rangle}$

var för bosoner och för fermioner . Eftersom och är godtyckliga kan vi säga, ${\ displaystyle e ^ {i \ delta} = + 1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle \ langle f |}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {O}}}}$

${\ displaystyle \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle = + \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ höger \ rangle}$ för bosoner och

${\ displaystyle \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle = - \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ höger \ rangle}$ för fermioner.

Observera att nummeroperatören inte skiljer bosoner från fermioner; det räknar faktiskt bara partiklar utan hänsyn till deras symmetrityp. För att uppfatta någon skillnad mellan dem behöver vi andra operatörer, nämligen skapande och förintelse .

Bosonic Fock-stat

Bosoner , som är partiklar med heltalssnurr, följer en enkel regel: deras sammansatta egenstat är symmetrisk under drift av en växeloperatör . Till exempel i ett tvåpartikelsystem i tensorproduktrepresentationen vi har . ${\ displaystyle {\ hat {P}} \ left | x_ {1}, x_ {2} \ right \ rangle = \ left | x_ {2}, x_ {1} \ right \ rangle}$

Boson skapande och förintelse operatörer

Vi borde kunna uttrycka samma symmetriska egenskap i denna nya Fock-rymdrepresentation. För detta har vi införa icke-Hermitska bosoniska skapande och förintelseoperatorer , betecknas av och respektive. Dessa operatörers agerande på ett Fock-tillstånd ges av följande två ekvationer: ${\ displaystyle b ^ {\ dolk}}$${\ displaystyle b}$

• Skapningsoperatör : ${\ textstyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dolk}}$

  ${\ displaystyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2 }}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1, ... \ rangle}$

• Annihilation operatör : ${\ textstyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}$

  ${\ displaystyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n_ { {\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3} } ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1, ... \ rangle}$

Icke-eremiticitet hos skapare och förintelseoperatörer

Bosonic Focks tillståndsskapande och förintelseoperatörer är inte Hermitiska operatörer .

Bevis för att skapande och förintelse operatörer inte är Hermitian.

För ett Fock-tillstånd , ${\ displaystyle | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf { k} _ {l}}, ... \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3} } ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1, ... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1 }}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}, ... \ right \ rangle & = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}}} \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}} , n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1, ... | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ { \ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1, ... \ höger \ rangle \\ [6pt] \ left (\ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} .. .n _ {\ mathbf {k} _ {l}}, ... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ { \ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1, ... \ right \ rangle \ right ) ^ {*} & = \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}. ..n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1 ... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} ^ {\ dolk} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathb f {k} _ {l}}, ... \ höger \ rangle \\ & = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}} + 1}} \ vänster \ langle n _ {\ mathbf { k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1 ... | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf { k} _ {l}} + 1 ... \ höger \ rangle \ slut {justerad}}}$ Därför är det uppenbart att anslutning till skapande (förintelse) operatör inte går in i sig själv. Därför är de inte Hermitian-operatörer. Men anslutning till skapande (förintelse) operatör är förintelse (skapande) operatör.

Operatörens identiteter

Kommuteringsförhållandena mellan skapare och förintelseoperatörer i ett bosoniskt system är

${\ displaystyle \ left [b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\ dolk} \ höger] \ equiv b_ {i} ^ {\,} b_ {j} ^ {\ dolk} -b_ {j} ^ {\ dolk} b_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}$

${\ displaystyle \ left [b_ {i} ^ {\ dolk}, b_ {j} ^ {\ dolk} \ höger] = \ vänster [b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\, } \ right] = 0,}$

var är kommutatorn och är Kronecker-deltaet . ${\ displaystyle [\ \, \ \]}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

N bosonisk grundtillstånd ${\ displaystyle | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} .. .n _ {{\ \ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle}$

Antal partiklar (N)	Bosonisk grund säger
0	${\ displaystyle | 0,0,0 ... \ rangle}$
1	${\ displaystyle | 1,0,0 ... \ rangle}$, , , ... ${\ displaystyle | 0,1,0 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 0,0,1 ... \ rangle}$
2	${\ displaystyle | 2,0,0 ... \ rangle}$, , , ... ${\ displaystyle | 1,1,0 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 0,2,0 ... \ rangle}$
...	...

Åtgärd mot vissa specifika Fock-stater

Antal operatörer

Nummeroperatorerna för ett bosoniskt system ges av , var${\ textstyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} = b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dolk} b _ {{\ mathbf {k }} _ {l}}}$${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ... \ rangle}$

Nummeroperatörer är Hermitian-operatörer.

Symmetriskt beteende hos bosonic Fock-tillstånd

Pendlingsförhållandena mellan skapande- och förintelsearperatorerna säkerställer att de bosoniska Fock-staterna har lämpligt symmetriskt beteende under partikelutbyte. Här sker utbyte av partiklar mellan två tillstånd (säg l och m ) genom att utplåna en partikel i tillstånd l och skapa en i tillstånd m . Om vi ​​börjar med ett Fock-tillstånd och vill flytta en partikel från tillstånd till tillstånd , så arbetar vi Fock-tillståndet på följande sätt: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle}$${\ displaystyle k_ {l}}$${\ displaystyle k_ {m}}$${\ displaystyle b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dolk} b _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$

Med hjälp av kommuteringsrelationen vi har, ${\ displaystyle b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dolk} .b _ {\ mathbf {k} _ {l}} = b _ {\ mathbf {k} _ {l}}. b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dolk}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} .b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}. .. \ höger \ rangle & = b _ {\ mathbf {k} _ {l}}. b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dolk} \ vänster | n _ {\ mathbf {k} _ { 1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} .. . \ höger \ rangle \\ & = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1}} {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}}} \ vänster | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1 ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1 ... \ höger \ rangle \ slut {justerad}}}$

Så, Bosonic Fock-staten beter sig symmetriskt under drift av Exchange-operatören.

• 

  Wigner funktion av ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

• 

  Wigner funktion av ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

• 

  Wigner funktion av ${\ displaystyle | 2 \ rangle}$

• 

  Wigner funktion av ${\ displaystyle | 3 \ rangle}$

• 

  Wigner funktion av ${\ displaystyle | 4 \ rangle}$

Fermioniskt Fock-tillstånd

Fermion skapande och förintelse operatörer

För att kunna behålla fermionernas antisymmetriska beteende introducerar vi för Fermionic Fock-tillstånd icke-Hermitiska fermionskapande och förintelseoperatorer, definierade för ett Fermionic Fock-tillstånd som: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle = | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ \ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle}$

• Den operatör skapa fungerar som: ${\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dolk}}$

  ${\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dolk} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2 }}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1, ... \ rangle}$

• Den förintelse Operatören fungerar som: ${\ textstyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}$

  ${\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n_ { {\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3} } ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1, ... \ rangle}$

Dessa två åtgärder görs antisymmetriskt, vilket vi kommer att diskutera senare.

Operatörens identiteter

Antikommutationsförhållandena mellan skapande och förintelse av operatörer i ett fermioniskt system är,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ {c_ {i} ^ {\,}, c_ {j} ^ {\ dolk} \ right \} \ equiv c_ {i} ^ {\,} c_ {j } ^ {\ dolk} + c_ {j} ^ {\ dolk} c_ {i} ^ {\,} & = \ delta _ {ij}, \\\ vänster \ {c_ {i} ^ {\ dolk}, c_ {j} ^ {\ dolk} \ höger \} = \ vänster \ {c_ {i} ^ {\,}, c_ {j} ^ {\,} \ höger \} & = 0, \ slut {justerad} }}$

var är antikommutatorn och är Kronecker-deltaet . Dessa antikommutationsförhållanden kan användas för att visa antisymmetriskt beteende hos Fermionic Fock-tillstånd . ${\ displaystyle {\ {\, \ \}}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Antal operatörer

Nummeroperatörer för Fermions ges av . ${\ textstyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} = c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dolk} .c _ {{\ mathbf { k}} _ {l}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ... \ rangle}$

Maximal yrkesantal

Nummeroperatörens handlingar såväl som skapande och förintelseoperatörer kan verka samma som de bosoniska, men den verkliga vridningen kommer från det maximala ockupationsantalet för varje stat i det fermioniska Fock-tillståndet. Genom att utvidga det 2-partikelformade fermioniska exemplet ovan, måste vi först övertyga oss om att ett fermioniskt Fock-tillstånd erhålls genom att tillämpa en viss summa av permutationsoperatorer på tensorprodukten av egenkit enligt följande: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ höger \ rangle}$

${\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ höger \ rangle = S _ {-} \ vänster | i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} ... i_ {l} ... \ höger \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ begin {vmatrix} \ left | i_ {1} \ right \ rangle _ {1} & \ cdots & \ left | i_ {1} \ right \ rangle _ {N} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ left | i_ {N} \ right \ rangle _ {1} & \ cdots & \ left | i_ {N} \ right \ rangle _ {N} \ end {vmatrix}}}$

Denna determinant kallas Slater-determinanten . Om något av de enskilda partikeltillstånden är desamma, skulle två rader av Slater-determinanten vara desamma och följaktligen skulle determinanten vara noll. Därför får två identiska fermioner inte uppta samma tillstånd (ett uttalande av Pauli-uteslutningsprincipen ). Därför är ockupationsnumret för varje enskilt tillstånd antingen 0 eller 1. Egenvärdet associerat med det fermioniska Fock-tillståndet måste vara antingen 0 eller 1. ${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}}}$

N fermionisk grundtillstånd ${\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}, ... \ right \ rangle}$

Antal partiklar (N)	Fermionisk grundtillstånd
0	${\ displaystyle | 0,0,0 ... \ rangle}$
1	${\ displaystyle | 1,0,0 ... \ rangle}$, , , ... ${\ displaystyle | 0,1,0 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 0,0,1 ... \ rangle}$
2	${\ displaystyle | 1,1,0 ... \ rangle}$, , , ... ${\ displaystyle | 0,1,1 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 0,1,0,1 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 1,0,1,0 ... \ rangle}$
...	...

Åtgärd mot vissa specifika Fock-stater

Antisymmetriskt beteende av Fermionic Fock-tillstånd

Antisymmetriskt beteende hos Fermionic-stater under Exchange-operatören tas hand om anticommutation-förhållandena. Här görs utbyte av partiklar mellan två tillstånd genom att utplåna en partikel i ett tillstånd och skapa en i en annan. Om vi ​​börjar med ett Fock-tillstånd och vill skifta en partikel från tillstånd till tillstånd , så använder vi Fock-tillståndet på följande sätt: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, ... n _ {\ mathbf {k} _ { m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle}$${\ displaystyle k_ {l}}$${\ displaystyle k_ {m}}$${\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dolk} .c _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$

Använda förhållandet mot kommutation vi har

${\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dolk} .c _ {\ mathbf {k} _ {l}} = - c _ {\ mathbf {k} _ {l}}. c_ { \ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dolk}}$

${\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dolk} .c _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ vänster | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1}} {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}}} \ vänster | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1 ... n _ {\ mathbf {k} _ {l} } -1 ... \ höger \ rangle}$

men,

Således är fermioniska Fock-tillstånd antisymmetriska under drift av partikelutbytesoperatörer.

Fock-tillstånd är inte energi-egenstater i allmänhet

I den andra kvantiseringsteorin ges den Hamiltoniska densitetsfunktionen av

${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ frac {1} {2m}} \ nabla _ {i} \ psi ^ {*} (x) \, \ nabla _ {i} \ psi (x)}$

Den totala Hamiltonian ges av

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {H}} & = \ int d ^ {3} x \, {\ mathfrak {H}} = \ int d ^ {3} x \ psi ^ {*} (x) \ left (- {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ right) \ psi (x) \\\ därför {\ mathfrak {H}} & = - {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ end {align}}}$

I fri Schrödinger-teori,

${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x) = - {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ psi _ {n} ^ { (+)} (x) = E_ {n} ^ {0} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)}$

och

${\ displaystyle \ int d ^ {3} x \, \ psi _ {n} ^ {(+) ^ {*}} (x) \, \ psi _ {n '} ^ {(+)} (x) = \ delta _ {nn '}}$

och

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n} a_ {n} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)}$,

var är utrotningsoperatören. ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ därför {\ mathcal {H}} = \ sum _ {n, n '} \ int d ^ {3} x \, a_ {n'} ^ {\ dolk} \ psi _ {n '} ^ {(+) ^ {*}} (x) \, {\ mathfrak {H}} a_ {n} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)}$

Endast för icke-interagerande partiklar gör och pendlar; i allmänhet pendlar de inte. För icke-interagerande partiklar, ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {n, n '} \ int d ^ {3} x \, a_ {n'} ^ {\ dolk} \ psi _ {n '} ^ {( +) ^ {*}} (x) \, E_ {n} ^ {0} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x) a_ {n} = \ sum _ {n, n '} E_ {n} ^ {0} a_ {n '} ^ {\ dolk} a_ {n} \ delta _ {nn'} = \ sum _ {n} E_ {n} ^ {0} a_ {n} ^ {\ dolk} a_ {n} = \ sum _ {n} E_ {n} ^ {0} {\ widehat {N}}}$

Om de inte pendlar kommer Hamiltonian inte att ha ovanstående uttryck. Därför är Fock-tillstånd i allmänhet inte energistyrstatus i ett system.

Vakuumfluktuationer

Vakuumtillståndet eller är tillståndet med lägsta energi och förväntningsvärdena för och försvinner i detta tillstånd: ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {\ dolk}}$

${\ displaystyle a | 0 \ rangle = 0 = \ langle 0 | a ^ {\ dolk}}$

De elektriska och magnetiska fälten och vektorpotentialen har lägeutvidgningen av samma allmänna form:

${\ displaystyle F \ left ({\ vec {r}}, t \ right) = \ varepsilon ae ^ {i {\ vec {k}} x- \ omega t} + h \ cdot c}$

Således är det lätt att se att förväntningsvärdena för dessa fältoperatörer försvinner i vakuumtillstånd:

${\ displaystyle \ langle 0 | F | 0 \ rangle = 0}$

Det kan dock visas att förväntningsvärdena för kvadraten för dessa fältoperatörer är icke-noll. Det finns alltså fluktuationer i fältet om nollensemble-genomsnittet. Dessa vakuumfluktuationer är ansvariga för många intressanta fenomen, inklusive lammförskjutningen i kvantoptik.

Multi-mode Fock-tillstånd

I ett fält med flera lägen arbetar varje skapande- och förintelseoperatör på sitt eget läge. Så och kommer bara att fungera . Eftersom operatörer som motsvarar olika lägen arbetar i olika delutrymmen i Hilbert-utrymmet är hela fältet en direkt produkt av över alla lägen: ${\ displaystyle a _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$${\ displaystyle a _ {\ mathbf {k} _ {l}} ^ {\ dolk}}$${\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right \ rangle}$${\ displaystyle | n _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ rangle}$

${\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle \ left | n _ {\ mathbf {k } _ {3}} \ höger \ rangle \ ldots \ ekviv \ vänster | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle \ equiv \ left | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ right \ rangle}$

Skapande- och förintelseoperatörerna arbetar i multilägetillståndet genom att bara höja eller sänka nummertillståndet för sitt eget läge:

${\ displaystyle {\ begin {align} a _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle & = {\ sqrt {n _ {{ \ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1, ... \ rangle \\ a _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dolk} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}. ..n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle & = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{ \ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf { k}} _ {l}} + 1, ... \ rangle \ end {align}}}$

Vi definierar också det totala antalet operatörer för fältet som är en summa av antalet operatörer för varje läge:

${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k}} = \ sum {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$

Multiläget Fock-tillstånd är en egenvektor för totalantaloperatören vars egenvärde är det totala ockupationsnumret för alla lägen

${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k}} | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ rangle = \ left (\ sum n _ {\ mathbf {k} _ {l} } \ höger) | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ rangle}$

Vid partiklar som inte samverkar, pendlar nummeroperatören och Hamiltonian varandra och följaktligen blir Fock-tillstånd i flera lägen egenstatus för Hamilton-multiläget

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ left | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ right \ rangle = \ left (\ sum \ hbar \ omega \ left (n _ {\ mathbf {k} _ {l}} + {\ frac {1} {2}} \ höger) \ höger) \ vänster | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ höger \ rangle}$

Källa till enstaka foton tillstånd

Enstaka fotoner genereras rutinmässigt med hjälp av enstaka sändare (atomer, kväve-vakanscentrum , kvantpunkt ). Dessa källor är emellertid inte alltid så effektiva, vilket ofta ger låg sannolikhet att faktiskt få en enda foton på begäran; och ofta komplexa och olämpliga ur en laboratoriemiljö.

Andra källor används ofta för att övervinna dessa problem på bekostnad av ett icke-bestämt beteende. Heralded enskilda fotonkällor är probabilistiska tvåfotonkällor från vilka paret delas och detekteringen av en foton förkunnar närvaron av den återstående. Dessa källor förlitar vanligtvis på den optiska icke-linjariteten hos vissa material gillar periodiskt polad Litiumniobat ( Spontan parametrisk nedkonvertering ) eller kisel (spontan fyrvågsblandning ) till exempel.

Icke-klassiskt beteende

Den Glauber-Sudarshan P-representation av Fock påstår visar att dessa tillstånd är rent kvantmekaniska och har ingen klassisk motsvarighet. Den av dessa stater i representationen är en ': te derivatan av deltafunktion Dirac och därför inte en klassisk sannolikhetsfördelning. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ varphi (\ alpha) \,}$${\ displaystyle 2n}$

Se även

• Sammanhängande stater
• Heisenberg gräns
• Icke-klassiskt ljus

Referenser

externa länkar

• Vladan Vuletic från MIT har använt en ensemble av atomer för att producera en Fock-tillståndskälla (aka single foton) (PDF)
• Producera och mäta ett enskilt foton tillstånd (Fock-tillstånd) med ett interaktivt experiment QuantumLab