Epistemisk modal logik - Epistemic modal logic

Epistemisk modal logik är ett underfält av modal logik som handlar om resonemang om kunskap . Medan epistemologi har en lång filosofisk tradition som går tillbaka till antikens Grekland , är epistemisk logik en mycket nyare utveckling med tillämpningar inom många områden, inklusive filosofi , teoretisk datavetenskap , artificiell intelligens , ekonomi och lingvistik . Medan filosofer sedan Aristoteles har diskuterat modal logik, och medeltida filosofer som Avicenna , Ockham och Duns Scotus utvecklat många av sina observationer, var det CI Lewis som skapade det första symboliska och systematiska tillvägagångssättet för ämnet 1912. Det fortsatte att mogna. som ett fält och nådde sin moderna form 1963 med Kripkes arbete .

Historisk utveckling

Många papper skrevs på 1950 -talet som talade om en kunskapslogik i förbifarten, men det var finska filosofen von Wrights uppsats An Essay in Modal Logic från 1951 som ses som ett grundläggande dokument. Det var inte förrän 1962 som en annan finländare, Hintikka , skulle skriva Kunskap och tro , det första boklängdsarbetet som föreslog att man använder metoder för att fånga kunskapens semantik snarare än de aletiska uttalanden som vanligtvis diskuteras i modal logik. Detta arbete lade mycket av grunden för ämnet, men mycket forskning har ägt rum sedan den tiden. Till exempel har epistemisk logik nyligen kombinerats med några idéer från dynamisk logik för att skapa dynamisk epistemisk logik , som kan användas för att specificera och resonera om informationsändring och utbyte av information i multi-agent system . De centrala verken inom detta område är av Plaza, Van Benthem och Baltag, Moss och Solecki.

Standard möjliga världsmodell

De flesta försök att modellera kunskap har baserats på den möjliga världsmodellen . För att göra detta måste vi dela uppsättningen möjliga världar mellan de som är kompatibla med en agents kunskap, och de som inte är det. Detta överensstämmer i allmänhet med vanlig användning. Om jag vet att det är antingen fredag eller lördag, så vet jag säkert att det inte är torsdag. Det finns ingen möjlig värld som är förenlig med min kunskap där det är torsdag, eftersom det i alla dessa världar är antingen fredag eller lördag. Även om vi främst kommer att diskutera det logikbaserade tillvägagångssättet för att utföra denna uppgift, är det värt att här nämna den andra primära metoden som används, den händelsebaserade metoden. I denna specifika användning är händelser uppsättningar av möjliga världar, och kunskap är en operatör av händelser. Även om strategierna är nära besläktade, finns det två viktiga skillnader mellan dem:

Den bakomliggande matematiska modellen för det logikbaserade tillvägagångssättet är Kripke-semantik , medan den händelsebaserade metoden använder de relaterade Aumann-strukturerna .
I den händelsebaserade metoden är logiska formler helt borta, medan den logikbaserade metoden använder systemet med modal logik.

Normalt har den logikbaserade metoden använts inom områden som filosofi, logik och AI, medan den händelsebaserade metoden oftare används inom områden som spelteori och matematisk ekonomi . I det logikbaserade tillvägagångssättet har en syntax och semantik byggts med hjälp av språket för modal logik, som vi nu kommer att beskriva.

Syntax

Den grundläggande modaloperatören för epistemisk logik, vanligtvis skriven K , kan läsas som "det är känt att", "det är epistemiskt nödvändigt att" eller "det är oförenligt med vad som är känt att inte". Om det finns mer än ett medel vars kunskaper är att representeras, kan index fästas till operatören ( , etc.) för att indikera vilket medel man talar om. Så kan läsas som "Agent vet det ." Således kan epistemisk logik vara ett exempel på multimodal logik som tillämpas för kunskapsrepresentation . Dubbeln av K , som skulle stå i samma relation till K som den är , har ingen specifik symbol, men kan representeras av , som kan läsas som " vet inte att inte " eller "Det överensstämmer med kunskapen det är möjligt ". Uttalandet " vet inte om eller inte " kan uttryckas som . ${\ displaystyle {\ mathit {K}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {K}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {K}} _ {a} \ varphi}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ Diamond}$ ${\ displaystyle \ Box}$ ${\ displaystyle \ neg K_ {a} \ neg \ varphi}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ neg K_ {a} \ varphi \ land \ neg K_ {a} \ neg \ varphi}$

För att tillgodose föreställningar om gemensam kunskap och distribuerad kunskap kan tre andra modala operatörer läggas till språket. Dessa är , som lyder "varje agent i grupp G vet;" , som lyder "det är allmänt känt för varje agent i G;" och , som lyder "det distribueras kunskap till varje agent i G." Om en formel vårt språk, då så är , och . Precis som abonnemanget efter kan utelämnas när det bara finns en agent, abonnemanget efter modaloperatörerna , och kan utelämnas när gruppen är uppsättningen för alla agenter. ${\ displaystyle {\ mathit {E}} _ {\ mathit {G}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {C}} _ {\ mathit {G}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {D}} _ {\ mathit {G}}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathit {E}} _ {G} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathit {C}} _ {G} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathit {D}} _ {G} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ mathit {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {D}}}$

Semantik

Som vi nämnde ovan bygger det logikbaserade tillvägagångssättet på den möjliga världsmodellen, vars semantik ofta ges bestämd form i Kripke-strukturer, även kända som Kripke-modeller. En Kripke-struktur M för n agenter över är en ( n + 2) -dubbel , där S är en icke-befriad uppsättning stater eller möjliga världar , är en tolkning , som förknippar varje stat i S en sanningstilldelning till de primitiva propositionerna i , och är binära relationer på S för n antal agenter. Det är viktigt här att inte förväxla vår modaloperatör och vår tillgänglighetsrelation. ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle (S, \ pi, {\ mathcal {K}} _ {1}, ..., {\ mathcal {K}} _ {n})}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {1}, ..., {\ mathcal {K}} _ {n}}$ ${\ displaystyle K_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}$

Sannhetsuppgiften berättar om ett förslag p är sant eller falskt i ett visst tillstånd. Så berättar om p är sant i tillstånd s i modellen . Sanningen beror inte bara på strukturen, utan också på den nuvarande världen. Bara för att något är sant i en värld betyder det inte att det är sant i en annan värld. För att säga att en formel är sann i en viss värld skriver man , normalt läst som " är sant vid (M, s)" eller "(M, s) uppfyller ". ${\ displaystyle \ pi (s) (p)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle (M, s) \ models \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

Det är användbart att tänka på vår binära relation som en möjlighetsrelation , eftersom den är avsedd att fånga vilken värld eller agent som jag anser är möjlig. I idealiserade kunskapsberättelser (t.ex. beskrivning av perfekta resonerares epistemiska status med oändlig minneskapacitet) är det vettigt att vara ett ekvivalensförhållande , eftersom detta är den starkaste formen och är den mest lämpliga för det största antalet applikationer. En ekvivalensrelation är en binär relation som är reflexiv , symmetrisk och transitiv . Tillgänglighetsrelationen behöver inte ha dessa egenskaper; det finns säkert andra val, till exempel de som används när man modellerar tro snarare än kunskap. ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}$

Kunskapens egenskaper

Om vi antar att det är ett ekvivalensförhållande och att agenterna är perfekta resonerande kan några kunskaper av kunskap härledas. Egenskaperna som listas här är ofta kända som "S5 -egenskaper" av skäl som beskrivs i avsnittet Axiom Systems nedan. ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}$

Distributionsaxiom

Detta axiom är traditionellt känd som K . I epistemiska termer står det att om en agent vet och vet det , måste agenten också veta . Så, ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi \ implis \ psi}$ ${\ displaystyle \, \ psi}$

{\ displaystyle (K_ {i} \ varphi \ land K_ {i} (\ varphi \ implicerar \ psi)) \ innebär K_ {i} \ psi}

Detta axiom är giltigt på alla ramar i relationell semantik .

Allmänhetens regel för kunskap

En annan egenskap vi kan härleda är att om den är giltig, då . Detta betyder inte att om det är sant, så vet jag agent . Vad det betyder är att om det är sant i varje värld som en agent anser vara en möjlig värld, måste agenten känna till varje möjlig värld. Denna princip traditionellt kallas N . ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle K_ {i} \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle {\ text {if}} \ models \ varphi {\ text {då}} M \ modeller K_ {i} \ varphi. \,}

Denna regel bevarar alltid sanningen i relationell semantik .

Kunskapen eller sanningens axiom

Detta axiom är också känd som T . Den säger att om en agent vet fakta måste fakta vara sanna. Detta har ofta tagits som det viktigaste kännetecknet mellan kunskap och tro. Vi kan tro att ett påstående är sant när det är falskt, men det skulle vara omöjligt att veta ett falskt påstående.

{\ displaystyle K_ {i} \ varphi \ implicerar \ varphi}

Detta axiom är giltigt på alla reflexiva ramar .

Det positiva introspektionsaxiomet

Denna egenskap och nästa anger att en agent har introspektion om sin egen kunskap och är traditionellt känd som 4 respektive 5 . Axiom för positiv introspektion, även känd som KK Axiom, säger specifikt att agenter vet att de vet vad de vet . Detta axiom kan verka mindre uppenbart än de som listats tidigare, och Timothy Williamson har argumenterat mot att det med kraft införs i sin bok, Kunskap och dess gränser .

{\ displaystyle K_ {i} \ varphi \ innebär K_ {i} K_ {i} \ varphi}

Detta axiom är giltigt på alla transitiva ramar .

Det negativa introspektionsaxiomet

Axiom för negativ introspektion säger att agenter vet att de inte vet vad de inte vet .

{\ displaystyle \ neg K_ {i} \ varphi \ innebär K_ {i} \ neg K_ {i} \ varphi}

Detta axiom är giltigt på alla euklidiska ramar .

Axiomsystem

Olika modalogiker kan härledas från att ta olika delmängder av dessa axiom, och dessa logiker är normalt uppkallade efter de viktiga axiomen som används. Detta är dock inte alltid fallet. KT45, den modala logiken som följer av kombinationen av K , T , 4 , 5 , och Knowledge Generalization Rule, är främst känd som S5 . Det är därför som kunskapens egenskaper som beskrivs ovan ofta kallas S5 -egenskaper.

Epistemisk logik handlar också om tro, inte bara kunskap. Den grundläggande modala operatören skrivs vanligen B istället för K . I det här fallet verkar dock kunskapsaxiomet inte längre vara rätt - agenter tror bara ibland på sanningen - så det ersätts vanligtvis med konsistensaxiomet, som traditionellt kallas D :

{\ displaystyle \ neg B_ {i} \ bot}

som säger att agenten inte tror en motsägelse, eller det som är falskt. När D ersätter T i S5 är det resulterande systemet känt som KD45. Detta resulterar i olika egenskaper också. Till exempel, i ett system där en agent "tror" att något är sant, men det faktiskt inte är sant, skulle tillgänglighetsrelationen vara icke-reflexiv. Troens logik kallas doxastisk logik . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {i}}$

Problem med den möjliga världsmodellen och den modala kunskapsmodellen

Om vi tar den möjliga världens inställning till kunskap, följer det att vår epistemiska agent a känner till alla de logiska konsekvenserna av deras tro. Om det är en logisk följd av , så finns det ingen möjlig värld där det är sant men inte är det. Så om a vet att det är sant följer det att alla de logiska konsekvenserna av är sanna för alla möjliga världar som är förenliga med a: s övertygelser. Därför en vet . Det är inte epistemiskt möjligt för en som med tanke på hans kunskap det . Detta övervägande var en del av det som ledde till att Robert Stalnaker utvecklade tvådimensionellism , vilket utan tvekan kan förklara hur vi kanske inte känner till alla de logiska konsekvenserna av vår tro, även om det inte finns några världar där de propositioner vi vet blir sanna men deras konsekvenser falska . ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P}$

Även när vi ignorerar möjlig världssemantik och håller oss till axiomatiska system, håller den här egenskapen. Med K och N (fördelningsregeln respektive kunskapsgeneraliseringsregeln), som är axiom som minimalt gäller för alla normala modalogiker, kan vi bevisa att vi känner till alla de logiska konsekvenserna av vår tro. Om är en logisk följd av , då kan vi härleda med N och villkorliga bevis och sedan med K . När vi översätter detta till epistemiska villkor, säger att detta att om är en logisk följd av , då en vet att det är, och om en vet , en vet . Det vill säga, a känner till alla de logiska konsekvenserna av varje förslag. Detta gäller nödvändigtvis alla klassiska modalogiker. Men sedan, till exempel om en vet att primtal är delbara endast själva och nummer ett, sedan en vet att 8683317618811886495518194401279999999 är prime (eftersom detta nummer är endast delbart med sig själv och den största). Det vill säga, under modal tolkning av kunskap, när en vet definitionen av ett primtal, en vet att detta nummer är ett primtal. Det bör vara tydligt vid denna tidpunkt att a inte är mänskligt. Detta visar att epistemisk modal logik är en idealiserad redogörelse för kunskap och förklarar objektiv, snarare än subjektiv kunskap (om något). ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {a} (P \ högerpil Q)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {a} P \ rightarrow {\ mathcal {K}} _ {a} Q}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

Se även

Anteckningar

Referenser

Anderson, A. och ND Belnap. Entailment: Logiken för relevans och nödvändighet. Princeton: Princeton University Press , 1975. ASIN B001NNPJL8.
Brown, Benjamin, Tankar och sätt att tänka: Källteori och dess tillämpningar. London: Ubiquity Press , 2017. [1] .
van Ditmarsch Hans, Halpern Joseph Y., van der Hoek Wiebe och Kooi Barteld (red.), Handbook of Epistemic Logic , London: College Publications, 2015.
Fagin, Ronald; Halpern, Joseph; Moses, Yoram; Vardi, Moshe (2003). Resonemang om kunskap . Cambridge: MIT Press . ISBN 978-0-262-56200-3.. En klassisk referens.
Ronald Fagin, Joseph Halpern, Moshe Vardi. "Ett icke -standardiserat tillvägagångssätt för det logiska allvetandeproblemet." Artificiell intelligens , volym 79, nummer 2, 1995, sid. 203-40.
Hendricks, VF Mainstream och Formal Epistemology. New York: Cambridge University Press , 2007.
Hintikka, Jaakko (1962). Kunskap och tro - En introduktion till logiken i de två föreställningarna . Ithaca: Cornell University Press . ISBN 978-1-904987-08-6..
Meyer, JJ C., 2001, "Epistemic Logic", i Goble, Lou, red., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell .
Montague, R. "Universal Grammar". Theoretica , volym 36, 1970, sid. 373-398.
Rescher, Nicolas (2005). Epistemisk logik: En undersökning av kunskapens logik . University of Pittsburgh Press . ISBN 978-0-8229-4246-7..
Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Multiagent-system: algoritmiska, spelteoretiska och logiska grunder . New York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.. Se kapitel 13 och 14; ladda ner gratis online .

externa länkar

"Dynamisk epistemisk logik" . Internetens encyklopedi för filosofi .
Hendricks, Vincent; Symons, John. "Epistemisk logik" . I Zalta, Edward N. (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Garson, James. "Modal logik" . I Zalta, Edward N. (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Vanderschraaf, Peter. "Allmän kunskap" . I Zalta, Edward N. (red.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Epistemisk modal logik på PhilPapers
" Epistemisk modal logik " - Ho Ngoc Duc.

Languages

In other projects