Bohr – Van Leeuwen sats - Bohr–Van Leeuwen theorem

Den Bohr-Van Leeuwen teoremet säger att när statistisk mekanik och klassisk mekanik tillämpas konsekvent, den termiska genomsnittet av magnetiseringen är alltid noll. Detta gör magnetism i fasta ämnen endast till en kvantmekanisk effekt och innebär att klassisk fysik inte kan ta hänsyn till paramagnetism , diamagnetism och ferromagnetism . Den klassiska fysikens oförmåga att förklara triboelektricitet härrör också från Bohr -Van Leeuwen -satsen.

Historia

Det som idag är känt som Bohr – Van Leeuwen -satsen upptäcktes av Niels Bohr 1911 i sin doktorsavhandling och återupptäcktes senare av Hendrika Johanna van Leeuwen i sin doktorsavhandling 1919. 1932 formaliserade Van Vleck och utökade Bohrs första sats. i en bok han skrev om elektriska och magnetiska känsligheter.

Betydelsen av denna upptäckt är att klassisk fysik inte tillåter sådant som paramagnetism , diamagnetism och ferromagnetism och därmed behövs kvantfysik för att förklara de magnetiska händelserna. Detta resultat, "kanske den mest deflationära publikationen genom tiderna", kan ha bidragit till Bohrs utveckling av en kvasi-klassisk teori om väteatomen 1913.

Bevis

Statistisk mekanik
Termodynamik Kinetisk teori
Partikelstatistik Spin -statistik sats Identiska partiklar Maxwell – Boltzmann Bose – Einstein Fermi – Dirac Parastatistik Anyonic statistik Flätstatistik
Termodynamiska ensembler NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Grand canonical NPH isoenthalpisk – isobarisk NPT isotermisk -isobarisk
Modeller Debye Einstein Jag sjunger Potts
Potentialer Inre energi Enthalpy Helmholtz fri energi Gibbs fri energi Stor potential / fri Landau -energi
Forskare Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose
v t e

Ett intuitivt bevis

Bohr -Van Leeuwen -satsen gäller ett isolerat system som inte kan rotera. Om det isolerade systemet får rotera som svar på ett externt applicerat magnetfält, gäller inte denna sats. Om det dessutom bara finns ett tillstånd av termisk jämvikt i en given temperatur och ett fält, och systemet får tid att återgå till jämvikt efter att ett fält har applicerats, kommer det inte att ske någon magnetisering.

Sannolikheten för att systemet kommer att vara i ett givet rörelsestillstånd förutspås av Maxwell – Boltzmann -statistiken vara proportionell mot , var är systemets energi, är Boltzmann -konstanten och är den absoluta temperaturen . Denna energi är lika med summan av rörelseenergin ( för en partikel med massa och hastighet ) och den potentiella energin . ${\ displaystyle \ exp (-U/k _ {\ text {B}} T)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle mv^{2}/2}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

Magnetfältet bidrar inte till den potentiella energin. Den Lorentzkraften på en partikel med laddning och hastigheten är${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right),}$

var är det elektriska fältet och är magnetflödestätheten . Hastigheten på utfört arbete är och beror inte på . Därför beror energin inte på magnetfältet, så fördelningen av rörelser beror inte på magnetfältet. ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = q \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

I nollfält blir det ingen nettorörelse av laddade partiklar eftersom systemet inte kan rotera. Det kommer därför att finnas ett genomsnittligt magnetmoment på noll. Eftersom fördelningen av rörelser inte beror på magnetfältet förblir momentet i termisk jämvikt noll i alla magnetfält.

Ett mer formellt bevis

För att minska bevisets komplexitet kommer ett system med elektroner att användas. ${\ displaystyle N}$

Detta är lämpligt, eftersom det mesta av magnetismen i ett fast ämne bärs av elektroner och beviset lätt generaliseras till mer än en typ av laddad partikel.

Varje elektron har en negativ laddning och massa . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}$

Om dess position är och hastigheten är , producerar den en ström och ett magnetiskt moment${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = e \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = {\ frac {1} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {j} = {\ frac {e} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}.}$

Ovanstående ekvation visar att magnetmomentet är en linjär funktion av hastighetskoordinaterna, så det totala magnetmomentet i en given riktning måste vara en linjär funktion av formen

${\ displaystyle \ mu = \ sum _ {i = 1}^{N} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i},}$

där pricken representerar ett tidsderivat och är vektorkoefficienter beroende på positionskoordinaterna . ${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$${\ displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {i}, i = 1 \ ldots N \}}$

Maxwell – Boltzmann statistik ger sannolikheten att den n: a partikeln har fart och koordinater som${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {n}}$

${\ displaystyle dP \ propto \ exp {\ left [-{\ frac {{\ mathcal {H}} (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N})} {k _ {\ text {B}} T}} \ höger]} d \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {p} _ {N} d \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {r} _ {N},}$

var är Hamiltonian , systemets totala energi. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Det termiska genomsnittet för vilken funktion som helst av dessa generaliserade koordinater är då${\ displaystyle f (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N} )}}$

${\ displaystyle \ langle f \ rangle = {\ frac {\ int fdP} {\ int dP}}.}$

I närvaro av ett magnetfält,

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m _ {\ text {e}}}} \ sum _ {i = 1}^{N} \ left (\ mathbf {p} _ { i}-{\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i} \ höger)^{2}+e \ phi (\ mathbf {q}),}$

var är den magnetiska vektorpotentialen och är den elektriska skalärpotentialen . För varje partikel är komponenterna i momentum och position relaterade till ekvationerna för hamiltons mekanik :${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i}}$${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} & =-\ partial {\ mathcal {H}}/\ partial \ mathbf {r} _ {i} \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} & = \ partiell {\ mathcal {H}}/\ partiell \ mathbf {p} _ {i}. \ end {align}}}$

Därför,

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} \ propto \ mathbf {p} _ {i}-{\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i}, }$

så momentet är en linjär funktion av momentet . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Det termiskt genomsnittliga ögonblicket,

${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = {\ frac {\ int \ mu dP} {\ int dP}},}$

är summan av termer som är proportionella mot integraler i formen

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} (\ mathbf {p} _ {i}-{\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i}) dP,}$

där representerar en av ögonblickskoordinaterna. ${\ displaystyle p}$

Integranden är en udda funktion av , så den försvinner. ${\ displaystyle p}$

Därför . ${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = 0}$

Ansökningar

Bohr -Van Leeuwen -satsen är användbar i flera tillämpningar, inklusive plasmafysik : "Alla dessa referenser baserar sin diskussion om Bohr -Van Leeuwen -satsen på Niels Bohrs fysiska modell, där perfekt reflekterande väggar är nödvändiga för att ge de strömmar som avbryter nätet bidrag från insidan av ett element av plasma och resultera i noll nettodiamagnetism för plasmaelementet. "

Diamagnetism av ren klassisk natur förekommer i plasma men är en följd av termisk obalans, till exempel en gradient i plasmatäthet. Elektromekanik och elektroteknik ser också praktisk nytta av Bohr -Van Leeuwen -satsen.

Se även

• Lista över plasma (fysik) artiklar

Referenser

externa länkar

• Tidigt 1900 -tal: Relativitet och kvantmekanik ger äntligen förståelse