Binomial (polynom) - Binomial (polynomial)

I algebra är en binomial ett polynom som är summan av två termer, var och en är en monomial . Det är den enklaste typen av gles polynom efter monomialerna.

Definition

En binomial är en polynom som är summan av två monomialer . En binomial i en enda obestämd (även känd som en univariat binomial) kan skrivas i formen

${\ displaystyle ax^{m} -bx^{n} \ ,,}$

där a och b är tal , och m och n är distinkta icke -negativa heltal och x är en symbol som kallas en obestämd eller av historiska skäl en variabel . I samband med Laurent -polynom definieras en Laurent -binomial , ofta helt enkelt kallad binomial , men exponenterna m och n kan vara negativa.

Mer allmänt kan en binomial skrivas som:

${\ displaystyle ax_ {1}^{n_ {1}} \ dotsb x_ {i}^{n_ {i}}-bx_ {1}^{m_ {1}} \ dotsb x_ {i}^{m_ {i }}}$

Exempel

${\ displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\ displaystyle xy+yx^{2}}$

${\ displaystyle 0,9x^{3}+\ pi y^{2}}$

${\ displaystyle 2x^{3} +7}$

Operationer på enkla binomialer

• Det binomiala x ² - y ² kan faktoriseras som produkten av två andra binomials:

${\ displaystyle x^{2} -y^{2} = (xy) (x+y).}$

Detta är ett specialfall med den mer allmänna formeln:

${\ displaystyle x^{n+1} -y^{n+1} = (xy) \ sum _ {k = 0}^{n} x^{k} \, y^{nk}.}$

När du arbetar över de komplexa talen kan detta också utvidgas till:

${\ displaystyle x^{2}+y^{2} = x^{2}-(iy)^{2} = (x-iy) (x+iy).}$

• Produkten av ett par linjära binomial ( ax + b ) och ( cx + d ) är en trinomial :

${\ displaystyle (ax+b) (cx+d) = acx^{2}+(ad+bc) x+bd.}$

• En binomial som höjs till n: ^e kraften , representerad som ( x + y ) ⁿ kan expanderas med hjälp av binomialset eller, på motsvarande sätt, med hjälp av Pascals triangel . Till exempel är kvadraten ( x + y ) ² i binomialet ( x + y ) lika med summan av kvadraterna för de två termerna och två gånger produkten av termerna, det vill säga:

${\ displaystyle (x+y)^{2} = x^{2}+2xy+y^{2}.}$

Siffrorna (1, 2, 1) som visas som multiplikatorer för termerna i denna expansion är binomialkoefficienter två rader ner från toppen av Pascals triangel. Expansionen av n: ^e kraften använder siffrorna n rader ner från toppen av triangeln.

• En tillämpning av ovanstående formel för kvadraten i en binomial är " ( m, n ) -formeln" för att generera pythagorska tripplar :

För m <n , låt a = n ² - m ² , b = 2 mn och c = n ² + m ² ; sedan a ² + b ² = c ² .

• Binomier som är summor eller skillnader i kuber kan räknas in i polynom av lägre ordning enligt följande:

${\ displaystyle x^{3}+y^{3} = (x+y) (x^{2} -xy+y^{2})}$

${\ displaystyle x^{3} -y^{3} = (xy) (x^{2}+xy+y^{2})}$

Se även

• Slutför torget
• Binomial distribution
• Lista över faktoriska och binomiska ämnen (som innehåller ett stort antal relaterade länkar)

Anteckningar

Referenser

• Bostock, L .; Chandler, S. (1978). Ren matematik 1 . Oxford University Press . sid. 36. ISBN 0-85950-092-6.