Peter Gustav Lejeune Dirichlet - Peter Gustav Lejeune Dirichlet

"Dirichlet" omdirigerar här. För annan användning, se Dirichlet (disambiguation) .
I den här artikeln, det efternamnet är Lejeune Dirichlet .
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet.jpg
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Född
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

( 1805-02-13 )13 februari 1805
Düren , franska imperiet
Död 5 maj 1859 (1859-05-05)(54 år)
Göttingen , Hannover
Nationalitet tysk
Känd för Se hela listan
Utmärkelser Doktorsexamen :
Universitetet i Bonn (1827)
Pour le Mérite (1855)
Vetenskaplig karriär
Fält Matematiker
Institutioner University of Breslau
University of Berlin
University of Göttingen
Avhandling Delresultat om Fermats sista sats, exponent 5  (1827)
Akademiska rådgivare Siméon Poisson
Joseph Fourier
Carl Gauss
Doktorander Gotthold Eisenstein
Leopold Kronecker
Rudolf Lipschitz
Carl Wilhelm Borchardt
Andra anmärkningsvärda studenter Moritz Cantor
Elwin Bruno Christoffel
Richard Dedekind
Alfred Enneper
Eduard Heine
Bernhard Riemann
Ludwig Schläfli
Ludwig von Seidel
Wilhelm Weber
Julius Weingarten

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( tyska: [ləˈʒœn diʀiˈkleː] ; 13 februari 1805 - 5 maj 1859) var en tysk matematiker som bidrog djupt till talteorin (inklusive skapandet av området analytisk talteori ) och teorin om Fourierserier och andra ämnen i matematisk analys ; han krediteras för att vara en av de första matematikerna som gav den moderna formella definitionen av en funktion .

Även om hans efternamn är Lejeune Dirichlet, kallas han vanligtvis bara för Dirichlet, särskilt för resultat uppkallade efter honom.

Biografi

Tidigt liv (1805–1822)

Gustav Lejeune Dirichlet föddes den 13 februari 1805 i Düren , en stad på den vänstra stranden av Rhen som vid den tiden ingick i det första franska riket , återvände till Preussen efter kongressen i Wien 1815. Hans far Johann Arnold Lejeune Dirichlet var postmästare, handelsman och stadsråd. Hans farfar kom till Düren från Richelette (eller mer sannolikt Richelle ), ett litet samhälle 5 km (3 miles) nordost om Liège i Belgien , varifrån hans efternamn "Lejeune Dirichlet" (" le jeune de Richelette ", franska för "ungdomen från Richelette") härleddes.

Även om hans familj inte var rik och han var den yngsta av sju barn, stödde hans föräldrar hans utbildning. De skrev in honom på en grundskola och sedan privatskola i hopp om att han senare skulle bli köpman. Den unge Dirichlet, som visade ett starkt intresse för matematik före 12 års ålder, övertalade sina föräldrar att låta honom fortsätta sina studier. År 1817 skickade de honom till Gymnasium Bonn  [ de ] under vård av Peter Joseph Elvenich , en student som hans familj kände. År 1820 flyttade Dirichlet till Jesuit Gymnasium i Köln , där hans lektioner med Georg Ohm hjälpte till att vidga hans kunskaper i matematik. Han lämnade gymmet ett år senare med bara ett certifikat, eftersom hans oförmåga att tala flytande latin hindrade honom från att tjäna Abitur .

Studier i Paris (1822–1826)

Dirichlet övertalade återigen sina föräldrar att ge ytterligare ekonomiskt stöd för sina studier i matematik, mot deras önskan om en karriär inom juridik. Eftersom Tyskland gav liten möjlighet att studera högre matematik vid den tiden, med bara Gauss vid universitetet i Göttingen som nominellt var professor i astronomi och ändå tyckte om att undervisa, beslutade Dirichlet att åka till Paris i maj 1822. Där deltog han i lektioner på Collège de France och vid universitetet i Paris , där han lärde sig matematik av bland andra Hachette , medan han studerade Gauss Disquisitiones Arithmeticae privat , en bok han höll nära hela livet. År 1823 rekommenderades han till general Maximilien Foy , som anlitade honom som privatlärare för att lära sina barn tyska , och lönen gav slutligen Dirichlet möjlighet att bli oberoende av sina föräldrars ekonomiska stöd.

Hans första originalforskning, som omfattade en del av ett bevis på Fermats sista sats för fallet n  = 5 , gav honom omedelbar berömmelse, vilket var det första framsteget i satsen sedan Fermats eget bevis på fallet n  = 4 och Eulers bevis för n  = 3 . Adrien-Marie Legendre , en av domarna, avslutade snart beviset för detta fall; Dirichlet fullbordade sitt eget bevis en kort tid efter Legendre och några år senare tog han fram ett fullständigt bevis för fallet n  = 14 . I juni 1825 accepterades han att föreläsa om sitt partiella bevis för fallet n  = 5 vid franska vetenskapsakademien , en exceptionell bedrift för en 20-årig student utan examen. Hans föreläsning vid akademin hade också satt Dirichlet i nära kontakt med Fourier och Poisson , som väckte hans intresse för teoretisk fysik , särskilt Fouriers analytiska värmeteori .

Tillbaka till Preussen, Breslau (1825–1828)

Eftersom general Foy dog ​​i november 1825 och han inte kunde hitta någon betalande ställning i Frankrike, fick Dirichlet återvända till Preussen. Fourier och Poisson presenterade honom för Alexander von Humboldt , som hade kallats att gå med i kung Friedrich Wilhelm III . Humboldt, som planerade att göra Berlin till ett centrum för vetenskap och forskning, erbjöd omedelbart sin hjälp till Dirichlet och skickade brev till hans fördel för den preussiska regeringen och den preussiska vetenskapsakademien . Humboldt säkrade också ett rekommendationsbrev från Gauss, som vid läsning av hans memoarer om Fermats teorem skrev med ovanligt mycket beröm att "Dirichlet visade utmärkt talang". Med stöd av Humboldt och Gauss erbjöds Dirichlet en lärartjänst vid universitetet i Breslau . Men eftersom han inte hade klarat en doktorsavhandling lämnade han in sin memoar om Fermat -satsen som en avhandling till universitetet i Bonn . Återigen gjorde hans bristande flytande på latin honom oförmögen att hålla den nödvändiga offentliga disputationen av hans avhandling; efter mycket diskussion beslutade universitetet att kringgå problemet genom att tilldela honom en hedersdoktor i februari 1827. Utbildningsministern beviljade honom också dispens för den latinska disputationen som krävs för habiliteringen . Dirichlet fick habiliteringen och föreläste 1827–28 året som Privatdozent på Breslau .

Medan han var i Breslau fortsatte Dirichlet sin teoretiska forskning och publicerade viktiga bidrag till den bikadratiska ömsesidighetslagen som vid den tiden var en kontaktpunkt för Gauss forskning. Alexander von Humboldt utnyttjade dessa nya resultat, som också hade dragit entusiastiska beröm från Friedrich Bessel , för att ordna för honom den önskade överföringen till Berlin. Med tanke på Dirichlets unga ålder (han var 23 år då) kunde Humboldt få honom endast en försöksposition vid Preussian Military Academy i Berlin medan han förblev nominellt anställd vid universitetet i Breslau. Prövotiden förlängdes med tre år tills tjänsten blev bestämd 1831.

Gift med Rebecka Mendelssohn

Dirichlet gifte sig 1832 med Rebecka Mendelssohn . De fick två barn, Walter (född 1833) och Flora (född 1845). Teckning av Wilhelm Hensel , 1823

Efter Dirichlets flytt till Berlin introducerade Humboldt honom för de stora salongerna som bankmannen Abraham Mendelssohn Bartholdy och hans familj höll. Deras hus var en samlingspunkt för Berlin -konstnärer och forskare varje vecka, inklusive Abrahams barn Felix och Fanny Mendelssohn , båda enastående musiker och målaren Wilhelm Hensel (Fannys make). Dirichlet visade stort intresse för Abrahams dotter Rebecka, som han gifte sig med 1832.

Rebecka Henriette Lejeune Dirichlet (född Rebecka Mendelssohn; 11 april 1811 - 1 december 1858) var barnbarn till Moses Mendelssohn och den yngsta systern till Felix Mendelssohn och Fanny Mendelssohn . Rebecka föddes i Hamburg . År 1816 ordnade hennes föräldrar att hon skulle döpa, då tog hon namnen Rebecka Henriette Mendelssohn Bartholdy. Hon blev en del av hennes föräldrars anmärkningsvärda salong , Abraham Mendelssohn och hans fru Lea, och hade sociala kontakter med viktiga musiker, konstnärer och forskare under en mycket kreativ period av tyskt intellektuellt liv. År 1829 sjöng hon en liten roll i premiären, som gavs i Mendelssohn -huset, av Felix Singspiel Die Heimkehr aus der Fremde . Hon skrev senare:

Min storebror och syster stal mitt rykte som konstnär. I någon annan familj skulle jag ha varit högt ansedd som musiker och kanske ha varit ledare för en grupp. Bredvid Felix och Fanny kunde jag inte sträva efter något erkännande.

År 1832 gifte hon sig med Dirichlet, som introducerades för familjen Mendelssohn av Alexander von Humboldt . År 1833 föddes deras första son, Walter. Hon dog i Göttingen 1858.

Berlin (1826–1855)

Så snart han kom till Berlin ansökte Dirichlet om föreläsning vid universitetet i Berlin , och utbildningsministern godkände överföringen och tilldelade honom 1831 till filosofiska fakulteten . Fakulteten krävde att han genomgick en förnyad habiliteringskvalifikation , och även om Dirichlet skrev en Habilitationsschrift efter behov, skjutade han upp den obligatoriska föreläsningen i latin i ytterligare 20 år, till 1851. Eftersom han inte hade fullgjort detta formkrav förblev han knuten till fakultet med mindre än fulla rättigheter, inklusive begränsade ersättningar, som tvingar honom att behålla sin lärartjänst vid militärskolan parallellt. År 1832 blev Dirichlet medlem i Preussian Academy of Sciences , den yngsta medlemmen vid bara 27 år.

Dirichlet hade ett gott rykte bland studenterna för tydligheten i sina förklaringar och tyckte om att undervisa, särskilt eftersom hans universitetsföreläsningar tenderade att vara om de mer avancerade ämnena där han forskade: talteori (han var den första tyska professorn som höll föreläsningar om nummerteori), analys och matematisk fysik . Han rådde doktorsavhandlingarna för flera viktiga tyska matematiker, som Gotthold Eisenstein , Leopold Kronecker , Rudolf Lipschitz och Carl Wilhelm Borchardt , samtidigt som han var inflytelserik i den matematiska bildningen av många andra forskare, inklusive Elwin Bruno Christoffel , Wilhelm Weber , Eduard Heine , Ludwig von Seidel och Julius Weingarten . Vid Military Academy lyckades Dirichlet införa differential och integrerad kalkyl i läroplanen och höja nivån på den vetenskapliga utbildningen där. Men han började gradvis känna att hans dubbla undervisningsbelastning, vid militära akademin och vid universitetet, begränsade den tid som var tillgänglig för hans forskning.

I Berlin höll Dirichlet kontakt med andra matematiker. År 1829, under en resa, träffade han Carl Jacobi , dåvarande professor i matematik vid Königsberg universitet . Under åren fortsatte de att träffas och korrespondera om forskningsfrågor, med tiden blev de nära vänner. År 1839, under ett besök i Paris, träffade Dirichlet Joseph Liouville , de två matematikerna blev vänner, höll kontakten och till och med besökte varandra med familjerna några år senare. År 1839 skickade Jacobi Dirichlet ett papper av Ernst Kummer , vid den tiden skollärare. De insåg Kummers potential och hjälpte honom att bli vald i Berlinakademien och fick 1842 en professorstjänst vid universitetet i Breslau för honom. År 1840 gifte sig Kummer med Ottilie Mendelssohn, en kusin till Rebeckas.

År 1843, när Jacobi insjuknade, reste Dirichlet till Königsberg för att hjälpa honom och fick sedan hjälp av kung Friedrich Wilhelm IV : s personliga läkare. När läkaren rekommenderade Jacobi att vistas en tid i Italien följde Dirichlet med honom på resan tillsammans med sin familj. De följdes till Italien av Ludwig Schläfli , som kom som översättare; eftersom han var starkt intresserad av matematik, föreläste både Dirichlet och Jacobi för honom under resan, och han blev senare en viktig matematiker själv. Familjen Dirichlet förlängde sin vistelse i Italien till 1845 och dottern Flora föddes där. År 1844 flyttade Jacobi till Berlin som kunglig pensionär, deras vänskap blev ännu närmare. År 1846, när Heidelberg -universitetet försökte rekrytera Dirichlet, gav Jacobi von Humboldt det stöd som behövdes för att få en fördubbling av Dirichlets lön vid universitetet för att behålla honom i Berlin; men även då fick han inte full professorlön och kunde inte lämna Military Academy.

Direklet och hans familj hade liberala åsikter och stödde revolutionen 1848 ; han bevakade till och med ett gevär palatset till Prinsen av Preussen. Efter att revolutionen misslyckades stängde Militära akademin tillfälligt, vilket orsakade honom en stor inkomstförlust. När den öppnades igen blev miljön mer fientlig mot honom, eftersom officerare som han undervisade förväntades vara lojala mot den konstituerade regeringen. Några av pressen som inte hade ställt sig på revolutionen påpekade honom, liksom Jacobi och andra liberala professorer, som "personalens röda kontingent".

År 1849 deltog Dirichlet tillsammans med sin vän Jacobi i jubileet för Gauss doktorsexamen.

Göttingen (1855–1859)

Trots Dirichlets expertis och de utmärkelser han fick, och även om han år 1851 äntligen hade slutfört alla formella krav för en professor, fortsatte frågan om att höja lönen vid universitetet fortfarande och han kunde fortfarande inte lämna Military Academy . År 1855, efter Gauss död, beslutade universitetet i Göttingen att kalla Dirichlet som hans efterträdare. Med tanke på svårigheterna i Berlin bestämde han sig för att acceptera erbjudandet och flyttade genast till Göttingen med sin familj. Kummer kallades att inta sin position som professor i matematik i Berlin.

Dirichlet njöt av sin tid i Göttingen, eftersom den lägre undervisningsbelastningen gav honom mer tid för forskning och han kom i nära kontakt med den nya generationen forskare, särskilt Richard Dedekind och Bernhard Riemann . Efter att ha flyttat till Göttingen kunde han få ett litet årligt stipendium för Riemann att behålla honom i lärarstaben där. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor och Alfred Enneper , även om de alla redan hade tagit sin doktorsexamen, deltog i Dirichlets klasser för att studera med honom. Dedekind, som kände att det fanns luckor i hans matematikutbildning, ansåg att tillfället att studera med Dirichlet gjorde honom till "en ny människa". Han redigerade och publicerade senare Dirichlets föreläsningar och andra resultat i talteori under titeln Vorlesungen über Zahlentheorie ( Föreläsningar om nummerteori ).

Sommaren 1858, under en resa till Montreux , drabbades Dirichlet av en hjärtinfarkt. Den 5 maj 1859 dog han i Göttingen, flera månader efter hans hustrus Rebeckas död. Dirichlets hjärna bevaras på institutionen för fysiologi vid universitetet i Göttingen, tillsammans med Gauss hjärna. Akademin i Berlin hedrade honom med ett formellt minnestal som Kummer höll 1860 och beordrade senare publicering av hans samlade verk redigerade av Kronecker och Lazarus Fuchs .

Matematisk forskning

Ytterligare information: Lista över saker som är uppkallade efter Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Talteori

Talteori var Dirichlets främsta forskningsintresse, ett område där han hittade flera djupa resultat och för att bevisa att de introducerade några grundläggande verktyg, varav många senare namngavs efter honom. År 1837, Dirichlets teorem om aritmetiska framsteg , med hjälp av matematiska analysbegrepp för att ta itu med ett algebraiskt problem och därmed skapa grenen av analytisk talteori . För att bevisa satsen introducerade han Dirichlet-karaktärerna och L-funktionerna . Även i artikeln han noterade skillnaden mellan absoluta och villkorliga konvergens av serie och dess inverkan på vad som senare kallades riemanns serieteorem . År 1841 generaliserade han sin aritmetiska progressionssats från heltal till ringen av gaussiska heltal .

I ett par papper 1838 och 1839 bevisade han den första klassnummerformeln för kvadratiska former (senare förfinad av sin student Kronecker). Formeln, som Jacobi kallade ett resultat "vidrör det yttersta av mänsklig insikt", öppnade vägen för liknande resultat beträffande mer allmänna talfält . Baserat på sin forskning av strukturen i enhetsgruppen av kvadratiska fält , visade han Dirichlet enhetssatsen , en grundläggande resultat i algebraisk talteori .

Han använde först duvhålsprincipen , ett grundläggande räkneargument, i beviset för ett teorem i diofantisk approximation , senare uppkallat efter honom Dirichlets approximationssats . Han publicerade viktiga bidrag till Fermats sista teorem , för vilket han bevisade fallen n  = 5 och n  = 14 , och till den bikadratiska ömsesidighetslagen . Den Dirichlet divisor problem , som han fann de första resultaten, är fortfarande ett olöst problem i talteori trots senare bidrag från andra matematiker.

Analys

Dirichlet hittade och bevisade konvergensvillkoren för Fouriers seriens sönderdelning. På bilden: de första fyra Fourier -seriens approximationer för en fyrkantvåg .

Inspirerad av hans mentors arbete i Paris publicerade Dirichlet 1829 en berömd memoar som ger förutsättningarna och visar för vilka funktioner konvergensen i Fourier -serien har. Innan Dirichlets lösning hade inte bara Fourier, utan också Poisson och Cauchy försökt hitta ett noggrant bevis på konvergens. Memoiren påpekade Cauchys misstag och introducerade Dirichlets test för seriekonvergens. Det introducerade också Dirichlet -funktionen som ett exempel på en funktion som inte är integrerbar (den bestämda integralen var fortfarande ett utvecklande ämne vid den tiden) och, i beviset för satsen för Fourier -serien, introducerade Dirichlet -kärnan och Dirichlet -integralen .

Dirichlet studerade också det första gränsvärdesproblemet , för Laplace -ekvationen , vilket bevisar lösningens unika karaktär; denna typ av problem i teorin om partiella differentialekvationer fick senare namnet Dirichlet -problemet efter honom. En funktion som uppfyller en partiell differentialekvation som är föremål för Dirichlets gränsvillkor måste ha fasta värden på gränsen. I beviset använde han särskilt principen att lösningen är den funktion som minimerar den så kallade Dirichlet-energin . Riemann kallade senare detta tillvägagångssätt för Dirichlet -principen , även om han visste att det också hade använts av Gauss och av Lord Kelvin .

Introduktion av det moderna funktionsbegreppet

När han försöker mäta intervallet av funktioner för vilka konvergens av Fourier -serien kan visas, definierar Dirichlet en funktion av egenskapen att "till vilket x som helst motsvarar ett enda ändligt y ", men begränsar sedan hans uppmärksamhet till bitvis kontinuerliga funktioner. Baserat på detta krediteras han för att ha introducerat det moderna konceptet för en funktion, i motsats till den äldre vaga förståelsen av en funktion som en analytisk formel. Imre Lakatos citerar Hermann Hankel som det tidiga ursprunget till denna attribution, men bestrider påståendet att "det finns gott om bevis för att han inte hade någon aning om detta begrepp [...] till exempel när han diskuterar bitvis kontinuerliga funktioner, säger han att vid diskontinuitetspunkter har funktionen två värden ".

Andra fält

Dirichlet arbetade också med matematisk fysik , föreläste och publicerade forskning inom potentialteori (inklusive Dirichlet -problemet och Dirichlet -principen som nämnts ovan), teorin om värme och hydrodynamik . Han förbättrade Lagranges arbete med konservativa system genom att visa att villkoret för jämvikt är att den potentiella energin är minimal.

Dirichlet föreläste också om sannolikhetsteori och minst kvadrater och introducerade några ursprungliga metoder och resultat, särskilt för begränsningssatser och en förbättring av Laplaces approximationsmetod relaterad till den centrala gränssatsen . Den Dirichlet distributionen och Dirichlet processen , baserat på Dirichlet integral , är uppkallad efter honom.

Högsta betyg

Dirichlet valdes till medlem i flera akademier:

År 1855 tilldelades Dirichlet civilmedaljen av Pour le Mérite -ordern på von Humboldts rekommendation. Den Dirichlet krater på månen och 11665 Dirichlet asteroid är uppkallad efter honom.

Utvalda publikationer

  • Lejeune Dirichlet, JPG (1889). L. Kronecker (red.). Werke . 1 . Berlin: Reimer.
  • Lejeune Dirichlet, JPG (1897). L. Kronecker, L. Fuchs (red.). Werke . 2 . Berlin: Reimer.
  • Lejeune Dirichlet, JPG; Richard Dedekind (1863). Vorlesungen über Zahlentheorie . F. Vieweg und sohn.

Referenser

externa länkar