Fourieranalys -Fourier analysis

Basgitarr tidssignal för öppen sträng A-ton (55 Hz).

Fouriertransform av basgitarrs tidssignal för öppen sträng A-ton (55 Hz). Fourieranalys avslöjar de oscillerande komponenterna i signaler och funktioner .

Inom matematik är Fourieranalys ( / ˈfʊr i eɪ , -iər / ) studiet av hur allmänna funktioner kan representeras eller approximeras av summor av enklare trigonometriska funktioner . Fourier analys växte från studiet av Fourier serier , och är uppkallad efter Joseph Fourier , som visade att representerar en funktion som en summa av trigonometriska funktioner i hög grad förenklar studiet av värmeöverföring .

Ämnet Fourieranalys omfattar ett stort spektrum av matematik. Inom vetenskap och ingenjörsvetenskap kallas processen att sönderdela en funktion till oscillerande komponenter ofta Fourieranalys, medan operationen att återuppbygga funktionen från dessa delar kallas Fouriersyntes . Att till exempel bestämma vilka komponentfrekvenser som finns i en musiknot skulle involvera beräkning av Fourier-transformen för en samplade musiknot. Man skulle sedan kunna återsyntetisera samma ljud genom att inkludera frekvenskomponenterna som avslöjades i Fourier-analysen. Inom matematiken syftar termen Fourieranalys ofta på studiet av båda operationerna.

Själva nedbrytningsprocessen kallas Fouriertransformation . Dess utdata, Fourier-transformen , får ofta ett mer specifikt namn, vilket beror på domänen och andra egenskaper hos den funktion som transformeras. Dessutom har det ursprungliga begreppet Fourier-analys utökats med tiden för att gälla allt mer abstrakta och allmänna situationer, och det allmänna fältet är ofta känt som harmonisk analys . Varje transform som används för analys (se lista över Fourier-relaterade transformer ) har en motsvarande invers transform som kan användas för syntes.

För att använda Fourier-analys måste data vara lika fördelade. Olika tillvägagångssätt har utvecklats för att analysera ojämnt fördelade data, särskilt de minsta kvadraters spektralanalys (LSSA) metoder som använder minsta kvadraters passning av sinusoider till dataprover, liknande Fourier-analys. Fourieranalys, den mest använda spektrala metoden inom vetenskapen, ökar generellt långperiodiskt brus i långa mellanrumsregister; LSSA mildrar sådana problem.

Ansökningar

Fourieranalys har många vetenskapliga tillämpningar – inom fysik , partiella differentialekvationer , talteori , kombinatorik , signalbehandling , digital bildbehandling , sannolikhetsteori , statistik , kriminalteknik , alternativprissättning , kryptografi , numerisk analys , akustik , oceanografi , ekolod , diff , , geometri , proteinstrukturanalys och andra områden.

Denna breda tillämpbarhet härrör från många användbara egenskaper hos transformationerna:

• Transformerna är linjära operatorer och, med korrekt normalisering, är de också enhetliga (en egenskap som kallas Parsevals sats eller, mer allmänt, som Plancherels sats , och mest allmänt via Pontryagin-dualitet ).
• Transformerna är vanligtvis inverterbara.
• Exponentialfunktionerna är egenfunktioner för differentiering , vilket innebär att denna representation omvandlar linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter till vanliga algebraiska. Därför kan beteendet hos ett linjärt tidsinvariant system analyseras vid varje frekvens oberoende.
• Genom faltningssatsen förvandlar Fourier-transformer den komplicerade faltningsoperationen till enkel multiplikation, vilket innebär att de ger ett effektivt sätt att beräkna faltningsbaserade operationer som signalfiltrering, polynommultiplikation och multiplicering av stora tal .
• Den diskreta versionen av Fourier-transformen (se nedan) kan utvärderas snabbt på datorer med hjälp av snabb Fourier-transform (FFT) algoritmer.

Inom kriminalteknik använder infraröda laboratoriespektrofotometrar Fourier-transformanalys för att mäta ljusets våglängder vid vilka ett material kommer att absorberas i det infraröda spektrumet. FT-metoden används för att avkoda de uppmätta signalerna och registrera våglängdsdata. Och genom att använda en dator utförs dessa Fourier-beräkningar snabbt, så att ett datorstyrt FT-IR-instrument inom några sekunder kan producera ett infrarött absorptionsmönster som är jämförbart med det för ett prismainstrument.

Fouriertransformation är också användbar som en kompakt representation av en signal. Till exempel använder JPEG- komprimering en variant av Fourier-transformationen ( diskret cosinustransformation ) av små kvadratiska bitar av en digital bild. Fourierkomponenterna i varje kvadrat är avrundade till lägre aritmetisk precision , och svaga komponenter elimineras helt, så att de återstående komponenterna kan lagras mycket kompakt. Vid bildrekonstruktion återmonteras varje bildkvadrat från de bevarade approximativa Fourier-transformerade komponenterna, som sedan inverstransformeras för att producera en approximation av den ursprungliga bilden.

Vid signalbehandling tar Fouriertransformen ofta en tidsserie eller en funktion av kontinuerlig tid och mappar den till ett frekvensspektrum . Det vill säga, det tar en funktion från tidsdomänen till frekvensdomänen ; det är en nedbrytning av en funktion till sinusoider med olika frekvenser; i fallet med en Fourier-serie eller diskret Fourier-transform är sinusoiderna övertoner av grundfrekvensen för den funktion som analyseras.

När en funktion är en funktion av tid och representerar en fysisk signal , har transformationen en standardtolkning som signalens frekvensspektrum. Storleken på den resulterande komplext värderade funktionen vid frekvens representerar amplituden för en frekvenskomponent vars initiala fas ges av vinkeln på (polära koordinater). ${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S(f)}$

Fouriertransformer är inte begränsade till funktioner av tid och tidsmässiga frekvenser. De kan likaväl användas för att analysera rumsliga frekvenser, och faktiskt för nästan vilken funktionsdomän som helst. Detta motiverar deras användning i så olika branscher som bildbehandling , värmeledning och automatisk kontroll .

Vid bearbetning av signaler, såsom ljud , radiovågor , ljusvågor, seismiska vågor och till och med bilder, kan Fourier-analys isolera smalbandskomponenter i en sammansatt vågform och koncentrera dem för enklare detektering eller borttagning. En stor familj av signalbehandlingstekniker består av Fourier-transformering av en signal, manipulering av Fourier-transformerade data på ett enkelt sätt och reversering av transformationen.

Några exempel inkluderar:

• Utjämning av ljudinspelningar med en serie bandpassfilter ;
• Digital radiomottagning utan superheterodynkrets , som i en modern mobiltelefon eller radioskanner ;
• Bildbearbetning för att ta bort periodiska eller anisotropa artefakter såsom jaggies från sammanflätad video , strippa artefakter från bandflygfotografering eller vågmönster från radiofrekvensinterferens i en digitalkamera;
• Korskorrelation av liknande bilder för samjustering;
• röntgenkristallografi för att rekonstruera en kristallstruktur från dess diffraktionsmönster;
• Fourier-transform joncyklotronresonansmasspektrometri för att bestämma massan av joner från frekvensen av cyklotronrörelse i ett magnetfält;
• Många andra former av spektroskopi, inklusive infraröd och kärnmagnetisk resonansspektroskopi;
• Generering av ljudspektrogram som används för att analysera ljud;
• Passivt ekolod används för att klassificera mål baserat på maskinbuller.

Varianter av Fourieranalys

En Fouriertransform och 3 variationer orsakade av periodisk sampling (vid intervall T) och/eller periodisk summering (vid intervall P) av den underliggande tidsdomänfunktionen. Den relativa beräkningslättheten hos DFT-sekvensen och insikten den ger i S ( f ) gör den till ett populärt analysverktyg.

(Kontinuerlig) Fouriertransform

Oftast hänvisar den okvalificerade termen Fouriertransform till omvandlingen av funktioner av ett kontinuerligt reellt argument, och det producerar en kontinuerlig funktion av frekvens, känd som en frekvensfördelning . En funktion omvandlas till en annan och operationen är reversibel. När domänen för ingångsfunktionen (initial) är tid ( t ), och domänen för utgångsfunktionen (slutlig) är vanlig frekvens , ges transformationen av funktionen s ( t ) vid frekvensen f av det komplexa talet:

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

Att utvärdera denna kvantitet för alla värden på f producerar frekvensdomänfunktionen . Då kan s ( t ) representeras som en rekombination av komplexa exponentialer av alla möjliga frekvenser:

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

som är den omvända transformationsformeln. Det komplexa talet, S ( f ) , förmedlar både amplitud och fas för frekvensen f .

Se Fourier transform för mycket mer information, inklusive:

• konventioner för amplitudnormalisering och frekvensskalning/enheter
• transformera egenskaper
• tabellerade transformeringar av specifika funktioner
• en förlängning/generalisering för funktioner av flera dimensioner, såsom bilder.

Fourier-serier

Fouriertransformen av en periodisk funktion, s _P ( t ) , med period P , blir en Dirac-kamfunktion , modulerad av en sekvens av komplexa koefficienter :

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (där ∫ _P är integralen över valfritt intervall av längden P ).

Den inversa transformationen, känd som Fourier-serien , är en representation av s _P ( t ) i termer av en summering av ett potentiellt oändligt antal harmoniskt relaterade sinusoider eller komplexa exponentialfunktioner , var och en med en amplitud och fas specificerad av en av koefficienterna:

${\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\summa _{k=-\infty }^{+\infty }S[k ]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \summa _{k=-\infty }^{\infty }S[k ]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Vilken s _P ( t ) som helst kan uttryckas som en periodisk summering av en annan funktion, s ( t ) :

${\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

och koefficienterna är proportionella mot sampel av S ( f ) med diskreta intervall av 1/P:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$

Observera att alla s ( t ) vars transform har samma diskreta sampelvärden kan användas i den periodiska summeringen. Ett tillräckligt villkor för att återvinna s ( t ) (och därför S ( f ) ) från just dessa prover (dvs. från Fourier-serien) är att den icke-noll-delen av s ( t ) begränsas till ett känt intervall med varaktighet P , som är frekvensdomändualen i Nyquist–Shannons samplingssats .

Se Fourier-serien för mer information, inklusive den historiska utvecklingen.

Diskret-tids Fourier transform (DTFT)

DTFT är den matematiska dualen av Fourier-serien av tidsdomäner. Således kan en konvergent periodisk summering i frekvensdomänen representeras av en Fourier-serie, vars koefficienter är prover av en relaterad kontinuerlig tidsfunktion:

${\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k }{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier serie (DTFT)}}} _{\text{Poisson summeringsformel}}={\mathcal {F}}\left\{\summa _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \ delta (t-nT)\right\},\,}$

som är känd som DTFT. Således är DTFT för s [ n ] -sekvensen också Fouriertransformen av den modulerade Dirac-kamfunktionen .

Fourier-seriens koefficienter (och invers transformation) definieras av:

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\ ,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}. }$

Parameter T motsvarar samplingsintervallet, och denna Fourier-serie kan nu kännas igen som en form av Poisson-summeringsformeln . Således har vi det viktiga resultatet att när en diskret datasekvens, s [ n ] , är proportionell mot sampel av en underliggande kontinuerlig funktion, s ( t ) , kan man observera en periodisk summering av den kontinuerliga Fouriertransformen, S ( f ) . Observera att alla s ( t ) med samma diskreta sampelvärden producerar samma DTFT Men under vissa idealiserade förhållanden kan man teoretiskt återställa S ( f ) och s ( t ) exakt. Ett tillräckligt villkor för perfekt återhämtning är att delen av S ( f ) som inte är noll är begränsad till ett känt frekvensintervall av bredd1/T. När det intervallet är [−1/2 T,1/2 T] , är den tillämpliga rekonstruktionsformeln Whittaker–Shannon-interpolationsformeln . Detta är en hörnsten i grunden för digital signalbehandling .

En annan anledning att vara intresserad av S _{1/ T} ( f ) är att det ofta ger insikt i mängden aliasing som orsakas av samplingsprocessen.

Tillämpningar av DTFT är inte begränsade till samplade funktioner. Se Diskret-time Fourier-transformation för mer information om detta och andra ämnen, inklusive:

• normaliserade frekvensenheter
• fönsterning (sekvenser med ändlig längd)
• transformera egenskaper
• tabellerade transformeringar av specifika funktioner

Diskret Fouriertransform (DFT)

I likhet med en Fourier-serie blir DTFT för en periodisk sekvens, , med period , en Dirac-kamfunktion, modulerad av en sekvens av komplexa koefficienter (se DTFT § Periodiska data ): ${\displaystyle s_{N}[n]}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (där Σn är summan över valfri sekvens av längd N ₎ .

S [ k ] -sekvensen _är vad som vanligtvis är känt som DFT för en cykel av sN . Det är också N -periodiskt, så det är aldrig nödvändigt att beräkna mer än N koefficienter. Den omvända transformationen, även känd som en diskret Fourier-serie , ges av:

${\displaystyle s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\summa _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k },}$   där Σ _k är summan över valfri sekvens av längd N .

När s _N [ n ] uttrycks som en periodisk summering av en annan funktion:

${\displaystyle s_{N}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   och   ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,s(nT),}$

koefficienterna är proportionella mot sampel av S _{1/ T} ( f ) med disreta intervall av1/P=1/NT:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$

Omvänt, när man vill beräkna ett godtyckligt antal ( N ) av diskreta sampel av en cykel av en kontinuerlig DTFT, S1 _{/ T} ( f ) , kan det göras genom att beräkna den relativt enkla DFT för _sN [ n ] , som definieras ovan. I de flesta fall väljs N lika med längden av en del av s [ n ] som inte är noll . Ökning av N , känd som nollutfyllnad eller interpolation , resulterar i mer tätt placerade sampel av en cykel av S _{1/ T} ( f ) . Att minska N , orsakar överlappning (tillägg) i tidsdomänen (analogt med aliasing ), vilket motsvarar decimering i frekvensdomänen. (se Diskret-tids Fourier-transform § L=N×I ) I de flesta fall av praktiskt intresse representerar s [ n ] -sekvensen en längre sekvens som trunkerades av tillämpningen av en finit-längd fönsterfunktion eller FIR-filteruppsättning .

DFT kan beräknas med en snabb Fourier transform (FFT) algoritm, vilket gör det till en praktisk och viktig transformation på datorer.

Se Diskret Fourier-transform för mycket mer information, inklusive:

• transformera egenskaper
• applikationer
• tabellerade transformeringar av specifika funktioner

Sammanfattning

För periodiska funktioner innefattar både Fouriertransformen och DTFT endast en diskret uppsättning frekvenskomponenter (Fourier-serien), och transformationerna divergerar vid dessa frekvenser. En vanlig praxis (ej diskuterad ovan) är att hantera den divergensen via Dirac delta- och Dirac-kamfunktioner . Men samma spektrala information kan urskiljas från bara en cykel av den periodiska funktionen, eftersom alla andra cykler är identiska. På liknande sätt kan funktioner med ändlig varaktighet representeras som en Fourier-serie, utan någon faktisk förlust av information förutom att periodiciteten för den inversa transformationen är en ren artefakt.

Det är vanligt i praktiken att varaktigheten av s (•) är begränsad till perioden P eller N . Men dessa formler kräver inte det villkoret.

s ( t ) transformerar (kontinuerlig tid)

	Kontinuerlig frekvens	Diskreta frekvenser
Omvandla	${\displaystyle S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt}$	${\displaystyle \overbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} ^{S[k]}\,\triangleq \,{ \frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt \equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}$
Omvänd	${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}$	${\displaystyle \underbrace {s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P} }t}} _{\text{Poisson-summeringsformel (Fourier-serien)}}\,}$

s ( nT ) transformer (diskret-tid)

	Kontinuerlig frekvens	Diskreta frekvenser
Omvandla	${\displaystyle \underbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson summeringsformel (DTFT)}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} ^{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N }}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{n}s_{P}(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{ DFT}}\,\end{aligned}}}$
Omvänd	${\displaystyle s(nT)=T\int _{\frac {1}{T}}{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^ {i2\pi fnT}\,df}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\ frac {1}{T}}\ S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{invers Fouriertransform}}\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}s_{P}(nT)&=\overbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi { \frac {kn}{N}}}} ^{\text{omvänd DFT}}\\&={\tfrac {1}{P}}\summa _{k}S_{\frac {1}{T} }\left({\frac {k}{P}}\right)\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}\end{aligned}}}$

Symmetriegenskaper

När de verkliga och imaginära delarna av en komplex funktion sönderdelas till sina jämna och udda delar , finns det fyra komponenter, nedan betecknade med sänkningarna RE, RO, IE och IO. Och det finns en en-till-en-mappning mellan de fyra komponenterna i en komplex tidsfunktion och de fyra komponenterna i dess komplexa frekvensomvandling:

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Tidsdomän}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{ _{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \ Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow } {\mathcal {F}}\\{\text{Frekvensdomän}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+ &iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Av detta framgår olika samband, till exempel:

• Transformeringen av en verkligt värderad funktion ( s _RE + _s RO ) _är den jämna symmetriska funktionen SRE + i SIO _. Omvänt innebär en jämn-symmetrisk transformation en tidsdomän med verkligt värde.
• Transformeringen av en imaginärt värderad funktion ( i s _IE + i s _IO ) är den udda symmetriska funktionen S _RO + i S _IE , och det omvända är sant.
• _{Transformeringen av en} jämnsymmetrisk funktion ( sRE + isIO ) är den verkliga funktionen SRE + SRO _, och det omvända är _sant .
• Transformen av en udda-symmetrisk funktion ( s _RO + i s _IE ) är den imaginärt värderade funktionen i S _IE + i S _IO , och det omvända är sant.

Historia

En tidig form av harmoniska serier går tillbaka till forntida babylonisk matematik , där de användes för att beräkna efemerider (tabeller över astronomiska positioner).

De klassiska grekiska begreppen deferent och epicykel i det ptolemaiska astronomisystemet var relaterade till Fourierserier (se Deferent och epicykel § Matematisk formalism ) .

I modern tid användes varianter av den diskreta Fouriertransformen av Alexis Clairaut 1754 för att beräkna en omloppsbana, som har beskrivits som den första formeln för DFT, och 1759 av Joseph Louis Lagrange , för att beräkna koefficienterna för en trigonometrisk serie för en vibrerande sträng. Tekniskt sett var Clairauts verk en serie med endast cosinus (en form av diskret cosinustransform ), medan Lagranges verk var en serie med endast sinus (en form av diskret sinustransform ); en sann cosinus+sinus DFT användes av Gauss 1805 för trigonometrisk interpolation av asteroidbanor . Euler och Lagrange diskretiserade båda problemet med vibrerande strängar, med hjälp av vad som idag skulle kallas prover.

En tidig modern utveckling mot Fourieranalys var uppsatsen Réflexions sur la résolution algébrique des equations från Lagrange från 1770, som i metoden med Lagrange-resolvents använde en komplex Fourier-upplösning för att studera lösningen av en kubisk: Lagrange transformerade rötterna x ₁ , x ₂ , x ₃ in i lösningsmedlen:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\ zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

där ζ är en kubikrot av enhet , vilket är DFT av ordning 3.

Ett antal författare, särskilt Jean le Rond d'Alembert , och Carl Friedrich Gauss använde trigonometriska serier för att studera värmeekvationen , men den genombrott som utvecklades var uppsatsen Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides från 1807 av Joseph Fourier , vars Den avgörande insikten var att modellera alla funktioner genom trigonometriska serier, och introducera Fourier-serien.

Historiker är delade om hur mycket Lagrange och andra ska tillskrivas för utvecklingen av Fourierteorin: Daniel Bernoulli och Leonhard Euler hade introducerat trigonometriska representationer av funktioner, och Lagrange hade gett Fourier-seriens lösning till vågekvationen, så Fouriers bidrag var främst djärvt påstående att en godtycklig funktion skulle kunna representeras av en Fourier-serie.

Den efterföljande utvecklingen av fältet är känd som harmonisk analys och är också en tidig förekomst av representationsteori .

Den första snabba Fourier-transformeringsalgoritmen (FFT) för DFT upptäcktes runt 1805 av Carl Friedrich Gauss när man interpolerade mätningar av omloppsbanan för asteroiderna Juno och Pallas , även om den speciella FFT-algoritmen oftare tillskrivs dess moderna återupptäckare Cooley och Tukey .

Tid–frekvensomvandlingar

I signalbehandlingstermer är en funktion (av tid) en representation av en signal med perfekt tidsupplösning , men ingen frekvensinformation, medan Fouriertransformen har perfekt frekvensupplösning , men ingen tidsinformation.

Som alternativ till Fouriertransformen använder man i tid–frekvensanalyser tid–frekvenstransformer för att representera signaler i en form som har viss tidsinformation och viss frekvensinformation – enligt osäkerhetsprincipen finns det en avvägning mellan dessa. Dessa kan vara generaliseringar av Fourier-transformen, såsom korttids-Fourier-transformen , Gabor-transformen eller fraktionell Fourier-transform (FRFT), eller kan använda olika funktioner för att representera signaler, som i wavelet-transformationer och chirplet-transformers , med wavelet-analogen. av den (kontinuerliga) Fourier-transformen är den kontinuerliga wavelet-transformen .

Fourier transformerar på godtyckliga lokalt kompakta abelska topologiska grupper

Fourier-varianterna kan också generaliseras till Fourier-transformationer på godtyckliga lokalt kompakta Abeliska topologiska grupper , som studeras i harmonisk analys ; där tar Fouriertransformen funktioner på en grupp till funktioner på den dubbla gruppen. Denna behandling tillåter också en allmän formulering av faltningssatsen , som relaterar Fouriertransformer och faltningar . Se även Pontryagin-dualiteten för den generaliserade grunden för Fourier-transformationen.

Mer specifikt kan Fourier-analys göras på cosets, även diskreta cosets.

Se även

Anteckningar

Referenser

Vidare läsning

externa länkar

• Tabeller över integrerade transformationer på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• En intuitiv förklaring av Fourierteorin av Steven Lehar.
• Föreläsningar om bildbehandling: En samling av 18 föreläsningar i pdf-format från Vanderbilt University. Föreläsning 6 handlar om 1- och 2-D Fourier Transform. Föreläsningar 7–15 använder sig av det. , av Alan Peters
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "Σ Summation (och Fourier Analys)" . Sextio symboler . Brady Haran för University of Nottingham .