Felix Hausdorff - Felix Hausdorff

Felix Hausdorff
Hausdorff 1913-1921.jpg
Född ( 1868-11-08 )8 november 1868
Död 26 januari 1942 (1942-01-26)(73 år)
Nationalitet tysk
Alma mater Universitetet i Leipzig
Känd för
Makar) Charlotte Hausdorff (1873-1942)
Vetenskaplig karriär
Fält Matematik
Institutioner University of Bonn , University of Greifswald , University of Leipzig
Avhandling Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung  (1891)
Doktorandrådgivare

Felix Hausdorff (8 november 1868 - 26 januari 1942) var en tysk matematiker som anses vara en av grundarna av modern topologi och som bidrog väsentligt till uppsättningsteori , beskrivande uppsättningsteori , måtteori och funktionell analys .

Livet blev svårt för Hausdorff och hans familj efter Kristallnacht 1938. Nästa år inledde han ansträngningar för att emigrera till USA, men kunde inte göra några arrangemang för att få ett forskningsstipendium. Den 26 januari 1942 dog Felix Hausdorff, tillsammans med sin fru och hans svägerska, av självmord genom att ta en överdos av veronal , snarare än att följa tyska order om att flytta till Endenich-lägret, och där drabbas de troliga konsekvenserna, som han inte hade några illusioner om.

Liv

Barndom och ungdom

Hausdorffs far, den judiska köpmannen Louis Hausdorff (1843–1896), flyttade hösten 1870 med sin unga familj till Leipzig och arbetade över tid på olika företag, inklusive en fabrik för linne och bomull. Han var en utbildad man och hade blivit en Morenu vid 14 års ålder. Det finns flera avhandlingar från hans penna, inklusive ett långt arbete med de arameiska översättningarna av bibeln ur talmudisk lag.

Hausdorffs mor, Hedwig (1848–1902), som också i olika dokument kallas Johanna, kom från den judiska familjen Tietz. Från en annan gren av denna familj kom Hermann Tietz , grundare av det första varuhuset, och senare delägare i varuhuskedjan som heter "Hermann Tietz". Under den nazistiska diktaturens period "namnet" ariserades "till Hertie .

Från 1878 till 1887 gick Felix Hausdorff på Nicolai -skolan i Leipzig, en anläggning som hade rykte om sig att vara en grogrund för humanistisk utbildning. Han var en utmärkt elev, klassledare i många år och reciterade ofta självskrivna latin- eller tyska dikter vid skolfirande. Vid sin examen 1887 (med två Oberprimen) var han den enda som nådde högsta betyg.

Valet av ämne var inte lätt för Hausdorff. Magda Dierkesmann, som ofta var gäst hemma hos Hausdorff som student i Bonn åren 1926–1932, rapporterade 1967 att:

Hans mångsidiga musikaliska talang var så stor att bara hans fars insisterande fick honom att ge upp sin plan att studera musik och bli kompositör.

Beslutet togs att studera vetenskaperna på gymnasiet.

Examen, doktorsexamen och habilitering

Från sommartiden 1887 till sommarsemester 1891 studerade Hausdorff matematik och astronomi , främst i sin hemstad Leipzig, avbruten med en termin i Freiburg (sommarsemester 1888) och Berlin (vintersemester 1888/1889). Det överlevande vittnesbördet från andra studenter visar honom som en extremt mångsidig intresserad ung man, som förutom de matematiska och astronomiska föreläsningarna deltog i föreläsningar i fysik , kemi och geografi samt föreläsningar om filosofi och filosofihistoria samt frågor om språk , litteratur och samhällsvetenskap . I Leipzig hörde han föreläsningar om musikhistorien av musikforskaren Paul. Hans tidiga kärlek till musik varade en livstid; i Hausdorffs hus var det imponerande musikaliska kvällar med hyresvärden vid pianot, enligt vittnesmål från olika deltagare. Redan som student i Leipzig var han en beundrare och finsmakare av Richard Wagners musik .

Under senare terminer av sina studier var Hausdorff nära Heinrich Bruns (1848–1919). Bruns var professor i astronomi och chef för observatoriet vid universitetet i Leipzig. Under honom tog Hausdorff examen 1891 med ett arbete om teorin om astronomisk ljusbrytning i atmosfären. Två publikationer om samma ämne följde, och 1895 följde hans habilitering också med en avhandling om ljusets absorbans i atmosfären. Dessa tidiga astronomiska verk av Hausdorff har - trots deras utmärkta matematiska genomarbetning - inte fått betydelse. För det första har den underliggande tanken om Bruns inte visat sig vara livskraftig (det fanns behov av brytningsobservationer nära den astronomiska horisonten, som - som Julius Bauschinger kunde visa lite senare - i princip inte kan uppnås med erforderlig noggrannhet). Å andra sidan har framstegen i den direkta mätningen av atmosfäriska data ( väderballonguppstigningar ) sedan gjort den noggranna noggrannheten hos dessa data från brytningsobservationer onödig. Under tiden mellan doktorand och habilitering slutförde Hausdorff det årliga frivilliga militära kravet och arbetade i två år som en mänsklig dator vid observatoriet i Leipzig.

Docent i Leipzig

Med sin habilitering blev Hausdorff föreläsare vid universitetet i Leipzig och började en omfattande undervisning inom olika matematiska områden. Förutom undervisning och forskning i matematik gick han med sina litterära och filosofiska böjelser. En man med varierande intressen, utbildad, mycket känslig och sofistikerad i att tänka, känna och uppleva, besökte han i Leipzig -perioden med ett antal kända författare, konstnärer och förläggare som Hermann Conradi , Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein , Max Klinger , Max Reger och Frank Wedekind . Åren 1897 till omkring 1904 markerar höjdpunkten i hans litterära och filosofiska kreativitet, under vilken 18 av hans 22 pseudonyma verk publicerades, inklusive en poesibok, en pjäs, en epistemologisk bok och en volym aforismer.

Hausdorff gifte sig med Charlotte Goldschmidt 1899, dotter till den judiska läkaren Siegismund Goldschmidt. Hennes styvmor var den berömda suffragisten och förskolläraren Henriette Goldschmidt. Hausdorffs enda barn, dottern Lenore (Nora), föddes 1900; hon överlevde nationalsocialismens era och åtnjöt ett långt liv och dog i Bonn 1991.

Första professuren

I december 1901 utsågs Hausdorff till adjungerad docent vid universitetet i Leipzig. Det ofta upprepade påståendet att Hausdorff fick ett samtal från Göttingen och avvisade det går inte att verifiera och är förmodligen fel. När han ansökte i Leipzig hade Dean Kirchner fått mycket positiv röst av sina kollegor, skriven av Heinrich Bruns, fortfarande åtföljd av följande ord:

Fakulteten anser sig dock vara skyldig att rapportera till Kungliga ministeriet att ovanstående ansökan under det andra november i år hade fakultetsmöte ägt rum inte accepterats av alla, men med 22 röster för 7. Minoriteten motsatte sig, eftersom Dr Hausdorff är av den mosaiska tron.

Detta citat betonar den närbildade antisemitismen som särskilt tog en kraftig uppgång efter Gründerkrach 1873 i hela tyska riket. Leipzig var ett centrum för antisemitisk rörelse, särskilt bland studenterna. Detta kan mycket väl vara anledningen till att Hausdorff inte kände sig bekväm i Leipzig. En annan anledning var kanske påfrestningarna på grund av den hierarkiska hållningen hos professorerna i Leipzig.

Efter hans habilitering skrev Hausdorff ett annat verk om optik , om icke-euklidisk geometri och om hyperkomplexa nummersystem, samt två uppsatser om sannolikhetsteori . Men hans huvudsakliga arbetsområde blev snart uppsättningsteori, särskilt teorin om ordnade uppsättningar . Det var inledningsvis ett filosofiskt intresse, vilket ledde till att han omkring 1897 studerade Georg Cantors verk. Redan sommartid 1901 höll Hausdorff en föreläsning om uppsättningsteori. Detta var en av de första föreläsningarna om uppsättningsteori alls; Ernst Zermelos föreläsningar i Göttingen College under vinterterminen 1900/1901 var lite tidigare. Det året publicerade han sin första uppsats om ordertyper där han undersökte en generalisering av välordningar som kallas graderade ordertyper , där en linjär ordning betygsätts om inte två av dess segment delar samma ordertyp . Han generaliserade Cantor -Bernstein -satsen , som sa att samlingen av räknade ordningstyper har kontinuitetens kardinalitet och visade att samlingen av alla graderade typer av en idempotent kardinalitet m har en kardinalitet på 2 m .

För sommarsemestern 1910 utsågs Hausdorff till professor vid universitetet i Bonn . I Bonn började han en föreläsning om uppsättningsteori, som han upprepade under sommarsemestern 1912, väsentligt reviderad och utökad.

Sommaren 1912 började han också arbeta med sin magnum opus, boken Basics of set theory . Det slutfördes i Greifswald, där Hausdorff hade utsetts för sommarterminen som professor 1913 och släpptes i april 1914.

Den University of Greifswald var den minsta av de preussiska universitet. Det matematiska institutet var också litet; under sommarsemester 1916 och vintersemester 1916/17 var Hausdorff den enda matematikern i Greifswald. Detta förde med sig att han nästan var helt upptagen med att undervisa i grundkurserna. Det var en väsentlig förbättring av hans akademiska situation när Hausdorff utnämndes 1921 till Bonn. Här kunde han utveckla en tematiskt vidsträckt undervisning och alltid föreläsa om den senaste forskningen. Han höll en särskilt anmärkningsvärd föreläsning om sannolikhetsteori (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) sommarsemester 1923, där han grundade denna teori i måtteoretisk axiomatisk teori, och detta inträffade tio år innan AN Kolmogorovs "Basic begrepp om sannolikhetsteori "(omtryckt i sin helhet i de samlade verken, volym V). I Bonn hade Hausdorff Eduard Study , och senare med Otto Toeplitz , framstående matematiker samt kollegor och vänner.

Under nazistisk diktatur och självmord

Den nationalsocialistiska partiets statslära etablerade antisemitism och maktövertagandet. Hausdorff oroades inte inledningsvis av " lagen för restaurering av yrkesverksamheten ", som antogs 1933, eftersom han hade varit en tysk tjänsteman sedan före 1914. Han blev dock inte helt förskonad, eftersom en av hans föreläsningar avbröts av Nazistiska studenter. Han avbröt sin 1934/1935 vintersemester Calculus III -kurs från och med den 20 november. Under den tiden var det en arbetssession av National Socialist German Student Union (NSDStB) vid universitetet i Bonn, som valde "Race and Ethnicity" som tema för terminen. Antagandet är att denna händelse är relaterad till avbrottet av Hausdorffs klass, för annars stoppade han aldrig i sin långa karriär som universitetslärare en klass.

Den 31 mars 1935, efter en del fram och tillbaka, fick Hausdorff äntligen emeritusstatus. Inga tackord gavs för 40 års framgångsrikt arbete i det tyska högre utbildningssystemet. Han arbetade outtröttligt och publicerade, förutom den utökade upplagan av sitt arbete med uppsättningsteori, sju verk om topologi och beskrivande uppsättningsteori, alla publicerade i polska tidskrifter: ett i Studia Mathematica , de andra i Fundamenta Mathematicae .

Hans Nachlass visar att Hausdorff fortfarande arbetade matematiskt under dessa allt svårare tider och följde den aktuella utvecklingen av intresse. Han fick osjälviskt stöd vid denna tid av Erich Bessel-Hagen , en lojal vän till familjen Hausdorff som skaffade böcker och tidskrifter från biblioteket på institutet, som Hausdorff inte längre fick komma in som judisk.

Om förnedringarna som Hausdorff och hans familj särskilt utsattes för efter Kristallnacht 1938 är mycket känt och från många olika källor, till exempel från Bessel-Hagens bokstäver.

Förgäves bad Hausdorff matematikern Richard Courant 1939 om en forskningsstipendium för att kunna emigrera till USA.

Första sidan i hans avskedsbrev till Hans Wollstein

I mitten av 1941 började Bonn-judarna deporteras till klostret "To Perpetual Adoration" i Endenich , från vilket nunnorna hade fördrivits. Transporterna till dödslägerna i öst inträffade senare. Efter att Hausdorff, hans fru och hans frus syster, Edith Pappenheim (som bodde hos dem) beordrades i januari 1942 att flytta till Endenich -lägret, dog de av självmord den 26 januari 1942 genom att ta en överdos av veronal . Deras sista viloplats ligger på Poppelsdorfer -kyrkogården i Bonn. Mellan deras placering i tillfälliga läger och hans självmord gav han sin handskrivna Nachlass till egyptologen och presbyten Hans Bonnet , som räddade så mycket av dem som möjligt, trots att hans hus förstördes av en bomb.

Några av hans med -judar kan ha haft illusioner om lägret Endenich, men inte Hausdorff. E. Neuenschwander upptäckte i dödsboet Bessel-Hagen avskedsbrevet som Hausdorff skrev till sin advokat Hans Wollstein, som också var judisk. Här är början och slutet på brevet:

Hausdorffs gravsten i Bonn-Poppelsdorf

Kära vän Wollstein!

Om du får dessa rader har vi (tre) löst problemet på ett annat sätt - på det sätt som du ständigt har försökt avskräcka oss. Den känsla av trygghet som du har förutsagt för oss när vi skulle övervinna svårigheterna med flytten, undviker oss fortfarande; tvärtom, Endenich kanske inte ens är slutet!

Det som har hänt de senaste månaderna mot judarna väcker motiverad rädsla för att de inte låter oss leva för att se en mer uthållig situation.

Efter att ha tackat vänner och i stor lugn och ro uttryckt sina sista önskemål om hans begravning och hans vilja, skriver Hausdorff:

Jag är ledsen att vi gör ytterligare ansträngningar bortom döden, och jag är övertygad om att du gör vad du kan göra (vilket kanske inte är så mycket). Förlåt oss vår övergivenhet! Vi önskar dig och alla våra vänner att uppleva bättre tider.

Du är verkligen hängiven

Felix Hausdorff

Tyvärr blev denna önskan inte uppfylld. Hausdorffs advokat, Wollstein, mördades i Auschwitz .

Hausdorffstraße (Bonn)

Hausdorffs bibliotek såldes av hans svärson och ensamma arvinge, Arthur König. Den handskrivna Nachlass antogs av en familjevän, Bonn Egyptologist Hans Bonnet, för förvaring. Det finns nu på universitetet och statsbiblioteket i Bonn. Den Nachlass är katalogiseras.

Arbete och mottagning

Hausdorff som filosof och författare (Paul Mongré)

Hausdorffs volym aforismer, publicerad 1897, var hans första verk som publicerades under pseudonymen Paul Mongré. Den har titeln Sant 'Ilario. Tankar från Zarathustras landskap . Undertiteln i Sant 'Ilario, "Tankar från Zarathustras landskap", spelar först ut på att Hausdorff hade slutfört sin bok under en återhämtningsvistelse vid den liguriska kusten av Genua och att i samma område skrev Friedrich Nietzsche de två första delar av Thus Spoke Zarathustra; han anspelar också på hans andliga närhet till Nietzsche. I en artikel om Sant 'Ilario i veckotidningen Die Zukunft erkände Hausdorff i expressis verbis sin skuld till Nietzsche.

Hausdorff försökte inte kopiera eller överskrida Nietzsche. "Av Nietzsche imitation inga spår", säger en samtida recension. Han följer Nietzsche i ett försök att befria individuellt tänkande, att ta sig friheten att ifrågasätta föråldrade standarder. Hausdorff behöll kritiskt avstånd till Nietzsches sena verk. I sin uppsats om boken The Will to Power sammanställd från anteckningar kvar i Nietzsche -arkivet säger han:

I Nietzsche lyser en fanatiker. Hans uppfödningsmoral, uppförd på våra nuvarande biologiska och fysiologiska kunskapsgrunder: det kan vara en världshistorisk skandal mot vilken inkvisitionen och häxprocessen bleknar till ofarliga avvikelser.

Hans kritiska standard tog han från Nietzsche själv,

Från den snälla, blygsamma, förstående Nietzsche och från den fria andan hos den coola, dogmfria, osystematiska skeptikern Nietzsche ...

År 1898 dök upp - även under pseudonymen Paul Mongré - Hausdorffs epistemologiska experiment Kaos i kosmiskt urval . Kritiken mot metafysiken som framförs i denna bok hade sin utgångspunkt i Hausdorffs konfrontation med Nietzsches idé om evigt återfall. Det kommer i slutändan att förstöra någon form av metafysik. Av själva världen, från den transcendenta världskärnan - som Hausdorff uttryckte - vet vi ingenting och vi vet ingenting. Vi måste anta "världen i sig" som obestämd och obestämbar, som ett rent kaos. Vår erfarenhetsvärld, vårt kosmos är resultatet av urvalet, urvalet som vi alltid instinktivt har gjort enligt våra möjligheter att förstå och göra mer. Från det kaoset skulle också andra ordningar, andra Kosmoi, kunna tänkas. Hur som helst, från vår kosmos värld kan du inte dra slutsatsen att det finns en transcendent värld.

1904, i tidningen The New Rundschau, dök Hausdorffs pjäs upp, enda akten Doktorn till hans ära . Det är en grov satir om duellen och om de traditionella begreppen om ära och adel hos den preussiska officerarkåren, som i det utvecklande borgerliga samhället blev alltmer anakronistiska. Läkaren till hans ära var Hausdorffs största litterära framgång. 1914–1918 fanns det många föreställningar i mer än trettio städer. Hausdorff skrev senare en epilog till pjäsen, men den framfördes inte vid den tiden. Först 2006 hade denna epilog sin premiär vid årliga mötet i German Mathematical Society i Bonn.

Förutom de ovan nämnda verken skrev Hausdorff många uppsatser som dök upp i några av tidens ledande litterära tidskrifter, liksom en diktsbok, Ecstasy (1900). Några av hans dikter spelades upp av den österrikiska kompositören Joseph Marx .

Teori om beställda uppsättningar

Hausdorffs inträde i en grundlig studie av beställda uppsättningar föranleddes delvis av Cantors kontinuitetsproblem: vilken plats tar kardinalnumret i serien . I ett brev till Hilbert den 29 september 1904 talar han om detta problem, "det har plågat nästan som en monomani". Han såg i uppsättningen en ny strategi för att attackera problemet. Cantor hade misstänkt , men hade bara visat . är "antalet" möjliga välordningar av en räkningsbar uppsättning  ; hade nu framstått som "antalet" på alla möjliga beställningar av ett sådant belopp. Det var därför naturligt att studera system som är mer speciella än allmänna ordningar, men mer generella än välordnade. Hausdorff gjorde just det i sin första volym 1901 med publicering av teoretiska studier av "graderade uppsättningar". Vi vet från resultaten från Kurt Gödel och Paul Cohen att denna strategi för att lösa kontinuumproblemet är lika ineffektiv som Cantors strategi, som syftade till att generalisera Cantor – Bendixson -principen för slutna uppsättningar till allmänna otaliga uppsättningar.

År 1904 publicerade Hausdorff rekursionen uppkallad efter honom:

För varje obegränsad ordinal har vi

Denna formel var, tillsammans med den senare uppfattningen om kofinalitet som introducerades av Hausdorff, grunden för alla ytterligare resultat för Aleph -exponentiering . Hausdorffs utmärkta kunskap om problemen med denna typ av sekvens stärktes också av hans ansträngningar att avslöja felet i Julius Königs föreläsning på International Mathematicians kongress 1904 i Heidelberg . Där hade König hävdat att kontinuumet inte kan vara välordnat, så dess kardinalitet är ingen Aleph, och orsakade därför en stor uppståndelse. Påståendet att det var Hausdorff som klargjorde misstaget har en särskild tyngd eftersom en falsk bild ritades i den historiska litteraturen för mer än 50 år av händelserna i Heidelberg.

Under åren 1906–1909 gjorde Hausdorff sitt grundläggande arbete med beställda uppsättningar. Endast några få punkter kan kort beröras. Av grundläggande betydelse för hela teorin är begreppet kofinalitet som Hausdorff introducerade. En ordinal kallas regelbunden om den är kofinal med någon mindre ordinal; annars är det enstaka. Hausdorffs fråga om det finns vanliga siffror med index en gränsordinal, var utgångspunkten för teorin om otillgängliga kardinaler. Hausdorff hade redan märkt att sådana siffror, om de finns, måste vara av "orimlig storlek".

Av grundläggande betydelse är följande sats om Hausdorff: för varje obegränsad ordnad tät uppsättning finns två unikt bestämda reguljära initialnummer så att de är kofinal med och mynt med (* Anger den omvända ordningen). Denna sats ger till exempel en teknik för att karakterisera element och luckor i ordnade uppsättningar. Således utnyttjade Hausdorff de gapkaraktärer och elementkaraktärer som introducerades av honom.

Om är en förutbestämd uppsättning tecken (element- och mellanrumstecken) uppstår frågan om det finns ordnade uppsättningar vars teckenuppsättning är exakt . Man kan lätt hitta en nödvändig förutsättning för . Hausdorff kunde visa att detta tillstånd också är tillräckligt. För detta behöver man en rik reservoar av beställda uppsättningar; Hausdorff hade skapat detta med sin teori om allmänna produkter och krafter. I denna reservoar finns sådana intressanta strukturer som Hausdorff- normala typer, i samband med vilka Hausdorff först formulerade den generaliserade kontinuumhypotesen . Hausdorffs uppsättningar utgjorde utgångspunkten för studiet av den viktiga modellteorin om mättad struktur .

Hausdorffs allmänna produkter och kardinalitetens befogenheter hade lett honom till begreppet delvis ordnad uppsättning. Frågan om någon ordnad delmängd av en delvis ordnad uppsättning finns i en maximalt ordnad delmängd besvarades positivt av Hausdorff med hjälp av den välordnade satsen. Detta är Hausdorffs maximala princip . Det följer inte bara av den välordnade satsen (eller av valet (motsvarande) axiom av val), men det är, som det visade sig, till och med valet axiom är ekvivalent.

Redan 1908 fann Arthur Moritz Schoenflies i den andra delen av sin rapport om uppsättningsteori att den nyare teorin om ordnade uppsättningar (dvs den som inträffade efter Cantors utökningar därav) nästan uteslutande berodde på Hausdorff.

"Magnum Opus": "Principer för uppsättningsteori"

Enligt tidigare föreställningar inkluderade uppsättningsteorin inte bara den allmänna uppsättningsteorin och teorin om uppsättningar av punkter, utan också mått- och måtteori. Hausdorffs arbete var den första läroboken som presenterade hela uppsättningsteorin i denna vida mening, systematiskt och med fullständiga bevis. Hausdorff var medveten om hur lätt det mänskliga sinnet kan ta fel samtidigt som det söker stränghet och sanning. Så han föreslog i förordet till verket:

Av det mänskliga privilegiet av fel att göra en så ekonomisk användning som möjligt.

Denna bok gick långt utöver dess mästerliga skildring av det kända. Den innehöll också en rad viktiga originalbidrag från författaren som bara kan antydas i det följande.

De första sex kapitlen behandlar de grundläggande begreppen för den allmänna uppsättningsteorin. I början presenterar Hausdorff en detaljerad uppsättning algebra med några banbrytande nya koncept (skillnadskedjor, setringar och uppsatta fält, - och -system). Dessa inledande stycken om uppsättningar och deras kopplingar inkluderade till exempel den moderna uppsättningsteoretiska uppfattningen om funktioner. Därefter följde i kapitel 3 till 5 den klassiska teorin om kardinalnummer, ordningstyper och ordinaler. I det sjätte kapitlet "Relationer mellan ordnade och välordnade uppsättningar" presenterar Hausdorff bland annat de viktigaste resultaten av sin egen forskning om ordnade uppsättningar.

I kapitlen om "punktuppsättningar" - de topologiska kapitlen - utvecklade Hausdorff för första gången, baserat på de kända grannskapsaxiomen, en systematisk teori om topologiska utrymmen, där han dessutom lade till det separationsaxiom som senare döptes efter honom. Denna teori kommer från en omfattande syntes av tidigare metoder för andra matematiker och Hausdorffs egna reflektioner om rymdproblemet. Begreppen och satserna för klassisk punktuppsättningsteori överförs-så långt det är möjligt-till det allmänna fallet och blir därmed en del av den nyskapade allmänna eller uppsättningsteoretiska topologin. Men Hausdorff utförde inte bara detta "översättningsarbete", utan han utvecklade också grundläggande konstruktionsmetod för topologi som kärnbildning (inre, tät i sig kärna) och skalbildning (stängning), och han arbetar med den grundläggande betydelsen av begreppet öppen set (kallat "område" av honom) och av den kompakthet som introducerades av Fréchet. Han grundade och utvecklade också teorin om den anslutna uppsättningen, särskilt genom introduktionen av termerna "komponent" och "kvasi-komponent".

Vid den första och så småningom den andra Hausdorff -räkningsaxiomen blev de övervägda utrymmena gradvis specialiserade. En stor klass av mellanslag som uppfyller det räknade första axiomet är metriska mellanslag . De introducerades 1906 av Fréchet under namnet "klasser (E)". Termen "metriskt utrymme" kommer från Hausdorff. I Principles utvecklade han teorin om metriska utrymmen och berikade den systematiskt genom en rad nya koncept: Hausdorff metriska , fullständiga , totala begränsningar , -anslutning, reducerbara uppsättningar. Fréchets arbete hade föga uppmärksammats; bara genom Hausdorffs principer blev metriska utrymmen matematikerns gemensamma egendom.

Kapitlet om illustrationer och det sista kapitlet i principer om mått och integrationsteori berikas av materialets allmänhet och presentationens originalitet. Hausdorffs omnämnande av måttteorins betydelse för sannolikhet hade stor historisk effekt, trots dess lakoniska korthet. Man finner i detta kapitel den första riktiga bevis på den starka lagen om stora tal av Émile Borel . Slutligen innehåller bilagan det enskilt mest spektakulära resultatet av hela boken, nämligen Hausdorffs sats som man inte kan definiera en volym för alla begränsade delmängder av för . Beviset bygger på Hausdorffs paradoxala bollnedbrytning, vars produktion kräver valet av axiom.

Under 1900 -talet blev det standarden för att bygga matematiska teorier om axiomatisk uppsättningsteori. Skapandet av axiomatiskt grundade generaliserade teorier, såsom den allmänna topologin, tjänade bland annat till att skilja ut den gemensamma strukturella kärnan för olika specifika fall eller regioner och sedan upprätta en abstrakt teori, som innehöll alla dessa delar som specialfall. Detta medförde en stor framgång i form av förenkling och harmonisering och slutligen ledde till tankekonomi med sig själv. Hausdorff själv belyste denna aspekt i principerna . Det topologiska kapitlet de grundläggande begreppen är metodiskt en banbrytande insats, och de visade vägen för utvecklingen av modern matematik.

Uppsättningsteorins principer dök upp under en redan spänd tid före första världskriget. I augusti 1914, kriget, som också dramatiskt påverkade det vetenskapliga livet i Europa. Under dessa omständigheter kan det knappast vara effektivt Hausdorffs bok under de första fem till sex åren efter dess framträdande. Efter kriget började en ny generation unga forskare att utöka de förslag som inkluderades i detta arbete i så stor mängd, och utan tvekan var topologin i fokus. Tidskriften Fundamenta Mathematicae spelade en särskild roll i mottagandet av Hausdorffs idéer, grundat i Polen 1920. Det var en av de första matematiska tidskrifterna med särskild tonvikt på uppsättningsteori, topologi, teori om verkliga funktioner, mått- och integrationsteori, funktionsanalys , logik och grunden för matematik. I detta spektrum var ett särskilt fokus den allmänna topologin. Hausdorffs principer var närvarande i Fundamenta Mathematicae från den första volymen i en anmärkningsvärd frekvens. Av de 558 verk (Hausdorffs egna tre verk inte beräknade), som förekom i de första tjugo volymerna från 1920 till 1933, hänvisar 88 till principer . Man måste till och med ta hänsyn till att eftersom Hausdorffs uppfattningar alltmer blev vanliga, så användes de också i ett antal verk som inte nämnde dem uttryckligen.

Den ryska topologiska skolan, grundad av Paul Alexandroff och Paul Urysohn , var starkt baserad på Hausdorffs principer . Detta visar den överlevande korrespondensen i Hausdorffs Nachlass med Urysohn, och särskilt Alexandroff och Urysohns Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes , ett verk i storleken på en bok, där Urysohn utvecklat dimensionsteori och principer citeras inte mindre än 60 gånger.

Långt efter andra världskriget var det en stark efterfrågan på Hausdorffs bok, och det fanns tre omtryck på Chelsea från 1949, 1965 och 1978.

Beskrivande uppsättningsteori, måtteori och analys

År 1916 löste Alexandroff och Hausdorff oberoende kontinuumproblemet för Borel -uppsättningar: Varje Borel -uppsättning i ett fullständigt separerbart metriskt utrymme är antingen räknbart eller har kontinuitetens kardinalitet. Detta resultat generaliserar Cantor -Bendixson -satsen som ett sådant uttalande gäller för de slutna uppsättningarna . För linjära uppsättningar hade William Henry Young bevisat resultatet 1903, för uppsättningar fick Hausdorff ett motsvarande resultat 1914 i principerna . Teoremet om Alexandroff och Hausdorff var en stark drivkraft för vidareutveckling av beskrivande uppsättningsteori.

Bland publikationerna av Hausdorff under hans tid i Greifswald är arbetet Dimension och yttre mått från 1919 särskilt enastående. Det har förblivit mycket aktuellt och har under senare år förmodligen varit det mest citerade matematiska originalverket från decenniet från 1910 till 1920. I detta arbete introducerades begreppen som nu är kända som Hausdorff -mått och Hausdorff -dimensionen .

Begreppet Hausdorff -dimension är användbart för karakterisering och jämförelse av "mycket robusta mängder". Begreppen Dimension och yttre mått har upplevt tillämpningar och vidareutveckling inom många områden, till exempel i teorin om dynamiska system, geometrisk måttteori, teorin om självliknande uppsättningar och fraktaler, teorin om stokastiska processer, harmonisk analys, potentialteori och talteori.

Betydande analysarbete av Hausdorff inträffade under hans andra tid i Bonn. I summeringsmetoder och momentsekvenser I 1921 utvecklade han en hel klass av summeringsmetoder för divergerande serier, som idag kallas Hausdorff -metoder . I Hardys klassiska Divergent -serie ägnas ett helt kapitel åt Hausdorff -metoden. De klassiska metoderna för Hölder och Cesàro visade sig vara en speciell Hausdorff -metod. Varje Hausdorff -metod ges genom en momentsekvens; i detta sammanhang gav Hausdorff en elegant lösning av ögonblicksproblemet under ett begränsat intervall och kringgick teorin om fortsatta fraktioner. I Moment -problem för ett begränsat intervall 1923 behandlade han mer speciella momentproblem, till exempel de med vissa begränsningar för att generera densitet , till exempel . Kriterier för lösbarhet och bestämning av ögonblicksproblem ockuperade Hausdorff i många år som hundratals sidor av studier i hans Nachlass intygar.

Ett betydande bidrag till den framväxande funktionsanalysen på tjugoårsåldern var Hausdorffs utvidgning av Riesz-Fischer-satsen till utrymmen i hans verk 1923 En förlängning av Parsevals sats om Fourier-serien . Han bevisade de ojämlikheter som nu är uppkallade efter honom och WH Young . Hausdorff – unga ojämlikheter blev utgångspunkten för stora nya utvecklingar.

Hausdorffs bok Set Theory dök upp 1927. Detta förklarades som en andra upplaga av principer , men det var faktiskt en helt ny bok. Eftersom skalan reducerades avsevärt på grund av dess framträdande i Gochens undervisningsbibliotek, togs stora delar av teorin om ordnade uppsättningar och mått och integrationsteori bort. "Mer än dessa raderingar kommer läsaren kanske att ångra" (sade Hausdorff i förordet), "att jag, för att ytterligare spara plats i punktuppsättningsteorin, har övergivit den topologiska synvinkel genom vilken den första upplagan tydligen har fått många vänner har begränsat mig till den enklare teorin om metriska utrymmen ".

I själva verket var detta ett uttryckligt beklagande av vissa granskare av verket. Som en slags kompensation visade Hausdorff för första gången det dåvarande nuvarande tillståndet för beskrivande uppsättningsteori. Detta faktum garanterade boken ett nästan lika intensivt mottagande som Principles , särskilt i Fundamenta Mathematicae. Som lärobok var den väldigt populär. År 1935 publicerades en utökad upplaga, och denna skrevs ut igen av Dover 1944. En engelsk översättning dök upp 1957 med upptryck 1962 och 1967.

Det fanns också en rysk upplaga (1937), även om det bara delvis var en trogen översättning, och delvis en omarbetning av Alexandroff och Kolmogorov . I denna översättning flyttades den topologiska synvinkeln igen i spetsen. År 1928 dök en recension av Set Theory upp från pennan till Hans Hahn. Kanske hade Hahn faran av tysk antisemitism i sinnet när han avslutade denna diskussion med följande mening:

En exemplarisk skildring i alla avseenden av ett svårt och tagget område, ett arbete i nivå med dem som har burit berömmelsen av tysk vetenskap om världen och sådant som alla tyska matematiker kan vara stolta över.

De sista verken

I sitt sista arbete Erweiterung einer stetigen Abbildung visade Hausdorff 1938 att en kontinuerlig funktion från en sluten delmängd av ett metriskt utrymme kan utökas till alla (även om bilden kan behöva förlängas). Som ett specialfall kan varje homeomorfism från utvidgas till en homeomorfism från . Detta arbete gav resultat från tidigare år. År 1919, i Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung , hade Hausdorff bland annat gett ytterligare ett bevis på Tietze -förlängningssatsen . År 1930, i Erweiterung einer Homöomorphie (Extending a Homeomorphism), visade han följande: Let be a metric space, a closed subset. Om det ges ett nytt mått utan att ändra topologin, kan detta mått utvidgas till hela utrymmet utan att ändra topologin. Verket Gestufte Räume dök upp 1935. Här diskuterade Hausdorff utrymmen som uppfyllde Kuratowski -stängningsaxiomen upp till bara idiompotensens axiom. Han namngav dem graderade utrymmen (ofta också kallade stängningsutrymmen) och använde dem i studien av relationerna mellan Fréchet -gränsrummen och topologiska utrymmen .

Hausdorff som namngivare

Namnet Hausdorff finns i hela matematiken. Bland annat namngavs dessa begrepp efter honom:

På universiteten i Bonn och Greifswald namngavs dessa saker till hans ära:

  • den Hausdorff Centrum för matematik i Bonn,
  • den Hausdorff Research Institute för matematik i Bonn, och
  • den Felix Hausdorff Inter Begegnungszentrum i Greifswald.

Förutom dessa finns det i Bonn Hausdorffstraße (Hausdorff Street), där han först bodde. (Haus-Nr. 61). I Greifswald finns en Felix-Hausdorff – Straße, där bland annat Instituten för biokemi och fysik ligger. Sedan 2011 finns det en "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way) mitt i Leipziger Ortsteil Gohlis .

Asteroiden 24947 Hausdorff fick sitt namn.

Skrifter

Som Paul Mongré

Endast ett urval av uppsatser som förekom i text visas här.

  • Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag CG Naumann, Leipzig 1897.
  • Das Chaos in kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag CG Naumann, Leipzig 1898; Omtryckt med förord ​​av Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN  3-87007-013-7
  • Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
  • Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
  • Ekstasen. Volym av poesi. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
  • Der Wille zur Macht. I: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
  • Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
  • Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
  • Der Arzt seiner Ehre, Groteske. I: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Ny upplaga som: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. Med 7 porträtt och träsnitt av Hans Alexander Müller efter teckningar av Walter Tiemann, 10 bl., 71 S. Femte tryck av Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Ny utgåva: S. Fischer, Berlin 1912, 88 S.

Som Felix Hausdorff

Hausdorff på beställda set . Trans. och red .: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Samlade verk

"Hausdorff-upplagan", redigerad av E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (alla Bonn), R. Remmert (†) (Münster) och E. Scholz (Wuppertal) med samarbetet av över tjugo matematiker, historiker, filosofer och forskare, är ett pågående projekt från North Rhine-Westphalian Academy of Sciences, Humanities and the Arts för att presentera Hausdorffs verk med kommentarer och mycket extra material. Volymerna har publicerats av Springer-Verlag , Heidelberg. Nio volymer har publicerats med volym I som delas upp i volym IA och volym IB. Se webbplatsen för Hausdorff Project -webbplatsen för Hausdorff Edition (tyska) för ytterligare information. Volymerna är:

Referenser

  • Alexandroff, P .; Hopf, H .: Topologie. Springer-Verlag , Berlin 1935.
  • Brieskorn, E .: Gustav Landauer und der Mathematiker Felix Hausdorff. I: H. Delf, G. Mattenklott: Gustav Landauer im Gespräch - Symposium zum 125. Geburtstag. Tübingen 1997, S. 105–128.
  • Brieskorn, E. (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis. Aspekte seines Werkes. Vieweg , Braunschweig/Wiesbaden 1996.
  • Brieskorn, E .; Purkert, W .: Felix Hausdorff-Biographie. (Band IB der Edition), Springer, Heidelberg 2018.
  • Eichhorn, E .; Thiele, E.-J .: Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff , Heldermann Verlag  [ de ] , Berlin 1994, ISBN  3-88538-105-2 .
  • Koepke, P., Kanovei V., Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre , 2001, uni-bonn.de (pdf)
  • Lorentz, GG: Das mathematische Werk von Felix Hausdorff. Jahresbericht der DMV 69 (1967), 54 (130) -62 (138).
  • Purkert, Walter: The Double Life of Felix Hausdorff/Paul Mongré. Mathematical Intelligencer, 30 (2008), 4, S. 36 ff.
  • Purkert, Walter: Felix Hausdorff - Paul Mongré. Matematiker - filosof - bokstavens man . Hausdorff Center for Mathematics, Bonn 2013.
  • Stegmaier, W .: Ein Mathematiker in der Landschaft Zarathustras. Felix Hausdorff som filosof. Nietzsche-Studien 31 (2002), 195–240.
  • Vollhardt, F .: Von der Sozialgeschichte zur Kulturwissenschaft? Die literarisch-essayistischen Schriften des Mathematikers Felix Hausdorff (1868–1942): Vorläufige Bemerkungen in systematischer Absicht. I: Huber, M .; Lauer, G. (Hrsg.): Nach der Sozialgeschichte - Konzepte für eine Literaturwissenschaft zwischen Historischer Anthropologie, Kulturgeschichte und Medientheorie. Max Niemeier Verlag, Tübingen 2000, S. 551–573.
  • Wagon, S .: Banach – Tarski Paradox . Cambridge Univ. Press, Cambridge 1993.
  • Lexikon deutsch-jüdischer Autoren  [ de ] , Band 10, Saur, München 2002, S. 262–268

Se även

Referenser

externa länkar