Sammanhängande dualitet - Coherent duality

I matematik är sammanhängande dualitet någon av ett antal generaliseringar av Serre-dualitet , som tillämpas på sammanhängande skivor , i algebraisk geometri och komplex mångfaldsteori , liksom vissa aspekter av kommutativ algebra som ingår i den 'lokala' teorin.

Teoriens historiska rötter ligger i idén om det angränsande linjära systemet för ett linjärt system med delare i klassisk algebraisk geometri. Detta uttrycktes på nytt, med tillkomsten av skivteorin , på ett sätt som gjorde en analogi med Poincaré-dualiteten tydligare. Sedan, enligt en allmän princip, Grothendiecks relativa synvinkel , utvidgades teorin om Jean-Pierre Serre till en ordentlig morfism ; Serre-dualiteten återhämtades som fallet med morfismen för en icke-singulär projektiv sort (eller komplett sort ) till en punkt. Den resulterande teorin kallas nu ibland Serre – Grothendieck – Verdier dualitet och är ett grundläggande verktyg i algebraisk geometri. En behandling av denna teori, Residues and Duality (1966) av Robin Hartshorne , blev en referens. En konkret avknoppning var Grothendieck-resterna .

För att gå utöver korrekta morfismer, som för versionerna av Poincaré-dualiteten som inte är för slutna grenrör , krävs en version av det kompakta stödkonceptet. Detta togs upp i SGA2 i termer av lokal kohomologi och Grothendieck lokal dualitet ; och därefter. Den Greenlees maj dualitet , först formulerat i 1976 av Ralf Strebel och 1978 av Eben Matlis , är en del av den fortsatta behandlingen av detta område.

Intilliggande funktors synvinkel

Bildfunktioner för skivor
direkt bild f ∗
invers bild f ∗
direkt bild med kompakt stöd f !
exceptionell invers bild Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Basändringssatser
v t e

Medan Serre-dualiteten använder en linjebunt eller inverterbar kärv som en dualiserande kärv , kan den allmänna teorin (det visar sig) inte vara så enkel. (Mer exakt kan det, men på bekostnad av att införa Gorenstein-ringvillkoret .) I en karakteristisk vändning omformulerade Grothendieck den allmänna sammanhängande dualiteten som förekomsten av en rätt angränsande funktion , kallad vriden eller exceptionell omvänd bildfunktion , till en högre direkt bild med kompakt stöd funktor . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Rf_ {!}}$

Högre direktbilder är i detta fall en skivformad form av skivkohomologi med korrekt (kompakt) stöd; de buntas i en enda funktion med hjälp av den härledda kategoriformuleringen av homologisk algebra (introducerad med detta fall i åtanke). Om är korrekt, då är rätt adjoint till omvända bild funktor . Den existens sats för tvinnade omvända bilden är namnet på bevis för att det finns för vad som skulle vara counit för comonad av traktade för adjunction, nämligen en naturlig transformation${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Rf _ {!} = Rf _ {\ ast}}$${\ displaystyle f ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle Rf _ {!} f ^ {!} \ rightarrow id}$,

som betecknas med (Hartshorne) eller (Verdier). Det är den aspekt av teorin som ligger närmast den klassiska betydelsen, som beteckningen antyder, att dualitet definieras av integration. ${\ displaystyle Tr_ {f}}$${\ displaystyle \ int _ {f}}$

För att vara mer exakt, existerar som en exakt funktor från en härledd kategori av kvasikoherent kärvar på , till den analoga kategori på , när ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

är en ordentlig eller kvasi projicerande morfism av eteriska scheman, av ändlig Krull-dimension . Från detta kan resten av teorin härledas: dualiserande komplex drar sig tillbaka via , Grothendieck-restsymbolen , dualiseringsskivan i Cohen – Macaulay- fallet. ${\ displaystyle f ^ {!}}$

För att få ett uttalande på ett mer klassiskt språk, men ändå bredare än Serre-dualiteten, använder Hartshorne ( algebraisk geometri ) Ext-funktionen för kärvar ; detta är ett slags språngbräda till den härledda kategorin.

Det klassiska uttalandet om Grothendieck-dualitet för en projektiv eller korrekt morfism av noeteriska scheman med begränsad dimension, som finns i Hartshorne ( rester och dualitet ) är följande kvasi-isomorfism ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$

${\ displaystyle Rf _ {\ ast} RHom_ {X} (F ^ {\ bullet}, f ^ {!} G ^ {\ bullet}) \ to RHom_ {Y} (Rf _ {\ ast} F ^ {\ bullet} , G ^ {\ bullet})}$

för ett avgränsat ovan-komplex av -moduler med kvasi-koherent kohomologi och ett avgränsat nedan-komplex av -moduler med koherent kohomologi. Här är skivor av homomorfismer. ${\ displaystyle F ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {X}}$${\ displaystyle G ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {Y}}$${\ displaystyle Hom}$

Konstruktion av pseudofunktionen med styva dualiseringskomplex${\ displaystyle f ^ {!}}$

Under åren uppstod flera tillvägagångssätt för att konstruera pseudofunktionen. Ett ganska framgångsrikt tillvägagångssätt bygger på tanken på ett styvt dualiserande komplex. Denna uppfattning definierades först av Van den Bergh i ett icke-kommutativt sammanhang. Konstruktionen är baserad på en variant av härledd Hochschild-kohomologi (Shukla-kohomologi): Låt vara en kommutativ ring och låt vara en kommutativ algebra. Det finns en funktion som tar ett cochain-komplex till ett objekt i den härledda kategorin över . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k-}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle A}$

Asumming är ingen eterisk, ett styvt dualiserande komplex över relativt per definition är ett par där är ett dualiserande komplex över vilket har en ändlig platt dimension över , och var är en isomorfism i den härledda kategorin . Om det finns ett sådant styvt dualiseringskomplex är det unikt i stark mening. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (R, \ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ rho: R \ to RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R \ otimes _ {k} ^ {L} R)}$${\ displaystyle D (A)}$

Antagande är en lokalisering av en ändlig typ- algebra, existensen av ett styvt dualiserande komplex jämfört med visades först av Yekutieli och Zhang antar att det är en vanlig noeterisk ring av ändlig Krull-dimension, och av Avramov , Iyengar och Lipman antar att det är en Gorenstein-ring av ändlig Krull-dimension och är av ändlig platt dimension över . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Om är ett schema av ändlig typ över kan man limma de styva dualiserande komplexen som dess affina bitar har, och erhålla ett styvt dualiserande komplex . När man väl har etablerat en global existens av ett styvt dualiseringskomplex, med tanke på en karta över scheman över , kan man definiera var för ett schema vi ställer in . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R_ {X}}$${\ displaystyle f: X \ till Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} \ circ Lf ^ {*} \ circ D_ {Y}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {X}: = RHom _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$

Dualisering av komplexa exempel

Dualiseringskomplex för en projektiv variation

Dualiseringskomplexet för en projektiv sort ges av komplexet ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [+ n])}$

Plan som skär en linje

Tänk på den projektiva variationen

${\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ vänster ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} höger) = { \ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(xy, xz)}} höger)}$

Vi kan beräkna med hjälp av en upplösning med lokalt fria kärvar. Detta ges av komplexet ${\ displaystyle \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ till {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle 0 \ till {\ mathcal {O}} (- 3) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​\\ - y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy & xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} \ till {\ mathcal {O}} _ {X} \ till 0}$

Eftersom vi har det ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} \ cong {\ mathcal {O}} (- 4)}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet}, {\ mathcal { O}} (- 4) [+ 3]) = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ otimes {\ mathcal {O }} (4) [- 3], {\ mathcal {O}})}$

Detta är komplexet

${\ displaystyle [{\ mathcal {O}} (- 4) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy \\ xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​& -y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 1)] [- 3]}$

Se även

• Verdier dualitet

Anteckningar

Referenser

• Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992), "Derived functors of I -adic complete and local homology", Journal of Algebra , 149 (2): 438–453, doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I , ISSN  0021-8693 , MR  1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Residues and Duality , Lecture Notes in Mathematics 20 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 20–48
• Neeman, Amnon (1996), "The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability", Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347 , MR  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), "Base change for twisted inverse image of coherent sheaves", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , s. 393– 408, MR  0274464
• Hopkins, Glenn, en algebraisk strategi för Grothendiecks restsymbol (PDF)