Chebyshev polynom - Chebyshev polynomials

De tjebysjovpolynom är två sekvenser av polynom relaterade till cosinus och sinusfunktioner, noterat som och . De kan definieras på flera sätt som har samma slutresultat; i denna artikel definieras polynomen genom att börja med trigonometriska funktioner :

De tjebysjovpolynom av det första slaget ges av
På samma sätt definiera Chebyshev -polynomen av det andra slaget som

Dessa definitioner verkar inte vara polynom , men med hjälp av olika trigonometriska identiteter kan de konverteras till en uttryckligen polynomform. Till exempel, för n = 2 kan T 2 -formeln konverteras till en polynom med argument x = cos ( θ ) , med hjälp av formeln med dubbel vinkel:

Vi ersätter termerna i formeln med definitionerna ovan

De andra T n ( x ) definieras på samma sätt, där vi för polynomen av det andra slaget ( U n ) måste använda de Moivres formel för att få sin ( n θ ) som sin ( θ ) gånger ett polynom i cos ( θ ) . Till exempel,

ger

När de väl har omvandlats till polynomform kallas T n ( x ) och U n ( x ) Chebyshev -polynom av första respektive andra sorten .

Omvänt kan ett godtyckligt heltal av trigonometriska funktioner uttryckas som en linjär kombination av trigonometriska funktioner med hjälp av Chebyshev -polynom

där primtalet vid summasymbolen indikerar att bidraget på j = 0 måste halveras om det visas, och .

En viktig och bekväm egenskap hos T n ( x ) är att de är ortogonala med avseende på den inre produkten

och U n ( x ) är ortogonala med avseende på en annan, analog inre produkt , som ges nedan. Detta följer av det faktum att Chebyshev -polynomen löser Chebyshev -differentialekvationerna

som är Sturm – Liouville differentialekvationer . Det är en allmän egenskap hos sådana differentialekvationer att det finns en framstående ortonormal uppsättning lösningar. (Ett annat sätt att definiera Chebyshev -polynomen är som lösningar på dessa ekvationer .)

Chebyshev -polynomen T n är polynom med största möjliga ledande koefficient, vars absoluta värde på intervallet [−1, 1] begränsas av 1. De är också de "extrema" polynomen för många andra egenskaper.

Chebyshev-polynom är viktiga i approximationsteorin eftersom rötterna till T n ( x ) , som också kallas Chebyshev-noder , används som matchningspunkter för optimering av polynominterpolering . Det resulterande interpoleringspolynomet minimerar problemet med Runges fenomen och ger en approximation som är nära den bästa polynomnärmningen till en kontinuerlig funktion under maxnormen , även kallad " minimax " -kriteriet. Denna approximation leder direkt till metoden för Clenshaw – Curtis kvadratur .

Dessa polynom namngavs efter Pafnuty Chebyshev . Bokstaven T används på grund av de alternativa translitterationerna av namnet Chebyshev som Tchebycheff , Tchebyshev (franska) eller Tschebyschow (tyska).

Definitioner

Definition av återkommande

Plott av de första fem T n Chebyshev -polynomen av det första slaget

De Chebyshev polynom av det första slaget erhålls från Differensekvation

Den vanliga genereringsfunktionen för T n är

Det finns flera andra genereringsfunktioner för Chebyshev -polynomen; den exponentiella genereringsfunktionen är

Den genereringsfunktion som är relevant för 2-dimensionell potentialteori och multipol-expansion är

Handling av de första fem U n Chebyshev -polynomen av det andra slaget

De Chebyshev polynom av det andra slaget definieras av Differensekvation

Lägg märke till att de två uppsättningarna av återfall relationer är identiska, med undantag för vs . Den vanliga genereringsfunktionen för U n är

den exponentiella genereringsfunktionen är

Trigonometrisk definition

Såsom beskrivs i inledningen kan Chebyshev -polynomen av det första slaget definieras som de unika polynom som tillfredsställer

eller, med andra ord, som de unika polynomen som tillfredsställer

för n = 0, 1, 2, 3, ... som som en teknisk punkt är en variant (motsvarande transponering) av Schröders ekvation . Det vill säga, T n ( x ) är funktionellt konjugat till nx , kodifierad i häcknings egenskapen nedan.

Polynomen av det andra slaget tillfredsställer:

eller

som strukturellt sett liknar Dirichlet -kärnan D n ( x ) :

Att cos nx är ett n: e graders polynom i cos x kan ses genom att observera att cos nx är den verkliga delen av ena sidan av de Moivres formel . Den verkliga delen av den andra sidan är ett polynom i cos x och sin x , där alla sinas x är jämna och därmed utbytbara genom identiteten cos 2 x + sin 2 x = 1 . Av samma resonemang är sin nx den imaginära delen av polynomet, där alla befogenheter i sin x är udda och därmed, om en räknas ut, kan de återstående ersättas för att skapa ett ( n −1) polynom av th-graden i cos x .

Identiteten är ganska användbar i samband med den rekursiva genereringsformeln, eftersom den gör det möjligt att beräkna cosinus för valfri integral multipel av en vinkel enbart i termer av cosinus för basvinkeln.

Utvärdering av de två första Chebyshev -polynomen,

och

man kan helt enkelt avgöra det

och så vidare.

Två omedelbara konsekvenser är kompositionens identitet (eller häckande egenskap som anger en halvgrupp )

och uttrycket för komplex exponentiering i termer av Chebyshev -polynom: givet z = a + bi ,

Pell ekvations definition

Chebyshev -polynomen kan också definieras som lösningarna på Pell -ekvationen

i en ring R [ x ] . Således kan de genereras med standardtekniken för Pell -ekvationer för att ta befogenheter för en grundläggande lösning:

Förhållanden mellan de två typerna av Chebyshev -polynom

Chebyshev -polynomen av den första och andra typen motsvarar ett komplementärt par Lucas -sekvenser n ( P , Q ) och Ũ n ( P , Q ) med parametrarna P = 2 x och Q = 1 :

Det följer att de också uppfyller ett par ömsesidiga återkommande ekvationer:

Chebyshev -polynomen av den första och andra typen är också kopplade av följande relationer:

Upprepningsförhållandet för derivatet av Chebyshev -polynom kan härledas från dessa relationer:

Detta förhållande används i Chebyshev -spektralmetoden för att lösa differentialekvationer.

Turáns ojämlikheter för Chebyshev -polynomen är

De integrerade relationerna är

där integraler betraktas som huvudvärde.

Explicita uttryck

Olika metoder för att definiera Chebyshev -polynom leder till olika uttryckliga uttryck som:

med invers

där primtalet vid summasymbolen indikerar att bidraget på j = 0 måste halveras om det visas.

där 2 F 1 är en hypergeometrisk funktion .

Egenskaper

Symmetri

Det vill säga att Chebyshev -polynomen av jämn ordning har jämn symmetri och innehåller endast jämna krafter på x . Chebyshev -polynom av udda ordning har udda symmetri och innehåller bara udda krafter på x .

Rötter och extrema

Ett Chebyshev -polynom av något slag med grad n har n olika enkla rötter, kallade Chebyshev -rötter , i intervallet [−1, 1] . Rötterna till Chebyshev -polynomet av det första slaget kallas ibland Chebyshev -noder eftersom de används som noder vid polynominterpolering. Med hjälp av den trigonometriska definitionen och det faktum att

man kan visa att rötterna till T n är

På liknande sätt, rötterna av U n är

Den extrema av T n på intervallet -1 ≤ x ≤ 1 är belägna vid

En unik egenskap hos Chebyshev -polynomen av det första slaget är att på intervallet −1 ≤ x ≤ 1 har alla extrema värden som är antingen −1 eller 1. Således har dessa polynom endast två ändliga kritiska värden , den definierande egenskapen för Shabat -polynom . Både den första och andra typen av Chebyshev -polynom har extrema vid slutpunkterna, givet av:

Differentiering och integration

Derivaten av polynomen kan vara mindre än enkla. Genom att differentiera polynomen i sina trigonometriska former kan det visas att:

De två sista formlerna kan vara numeriskt besvärliga på grund av divisionen med noll (0/0 obestämd form , specifikt) vid x = 1 och x = −1 . Det kan visas att:

Bevis

Det andra derivatet av Chebyshev -polynomet av det första slaget är

som, om den utvärderas enligt ovan, utgör ett problem eftersom den är obestämd vid x = ± 1 . Eftersom funktionen är en polynom måste (alla) derivaten existera för alla reella tal, så att ta för att begränsa uttrycket ovan bör ge det önskade värdet:

där endast x = 1 anses för närvarande. Factoring nämnaren:

Eftersom gränsen som helhet måste existera måste gränsen för täljaren och nämnaren självständigt existera, och

Nämnaren (fortfarande) begränsar sig till noll, vilket innebär att täljaren måste begränsa till noll, dvs U n - 1 (1) = nT n (1) = n vilket kommer att vara användbart senare. Eftersom räknaren och nämnaren båda begränsar sig till noll, gäller L'Hôpital regel :

Beviset för x = −1 är liknande, med det faktum att T n (−1) = (−1) n är viktigt.

Mer allmän formel säger:

vilket är till stor nytta i numerisk lösning av egenvärdesproblem.

Det har vi också

där primtalet vid summeringssymbolerna betyder att termen med k = 0 ska halveras, om den visas.

När det gäller integration innebär det första derivatet av T n det

och återkommande förhållande för det första slaget polynom som involverar derivat fastställer att för n ≥ 2

Den sista formeln kan manipuleras ytterligare för att uttrycka integralen av T n som en funktion av endast Chebyshev -polynom av det första slaget:

Dessutom har vi

Produkter av Chebyshevs polynom

När man arbetar med Chebyshev -polynom förekommer ganska ofta produkter av två av dem. Dessa produkter kan reduceras till kombinationer av Chebyshev -polynom med lägre eller högre grad och avslutande uttalanden om produkten är lättare att göra. Det ska antas att i det följande är index m större än eller lika med index n och n är inte negativt. För Chebyshevs polynom av första sorten expanderar produkten till

vilket är en analogi med tilläggssatsen

med identiteterna

För n = 1 resulterar detta i den redan kända återkommande formeln, bara arrangerad annorlunda, och med n = 2 bildar den återkommande förhållande för alla jämna eller alla udda Chebyshev -polynom (beroende på pariteten för de lägsta m ) som gör det möjligt att designa funktioner med föreskrivna symmetriegenskaper. Ytterligare tre användbara formler för utvärdering av Chebyshev -polynom kan sammanfattas från denna produktutvidgning:

För Chebyshev -polynom av det andra slaget kan produkter skrivas som:

för mn .

Genom detta, som ovan, med n = 2 återkommer formeln för Chebyshev -polynom av det andra slaget för båda typerna av symmetri till

beroende på om m börjar med 2 eller 3.

Ortogonalitet

Både T n och U n bildar en sekvens av ortogonala polynom . Polynomen av det första slaget T n är ortogonala med avseende på vikt

på intervallet [−1, 1] , dvs vi har:

Detta kan bevisas genom att låta x = cos θ och använda den definierande identiteten T n (cos θ ) = cos .

På liknande sätt, polynomen av det andra slaget U n är ortogonala med avseende på vikt

på intervallet [−1, 1] , dvs vi har:

(Måttet 1 - x 2 d x är, inom en normaliseringskonstant, Wigners halvcirkelfördelning .)

Den T n också uppfylla en diskret ortogonalitet Förhållande:

där N är vilket heltal som är större än max ( i , j ) , och x k är N Chebyshev -noder (se ovan) för T N ( x ) :

För polynomen av den andra sorten och alla heltal N > i + j med samma Chebyshev -noder x k finns det liknande summor:

och utan viktfunktionen:

För alla heltal N > i + j , baserat på N -nollorna i U N ( x ) :

man kan få summan:

och igen utan viktfunktionen:

Minimal -norm

För varje given n ≥ 1 , bland polynomen i grad n med ledande koefficient 1 ( moniska polynom),

är det av vilket det maximala absoluta värdet på intervallet [−1, 1] är minimalt.

Detta maximala absoluta värde är

och | f ( x ) | når detta maximum exakt n + 1 gånger kl

Bevis

Låt oss anta att w n ( x ) är ett polynom av grad n med ledande koefficient 1 med maximalt absolutvärde på intervallet [−1,1] mindre än 1/2 n - 1 .

Definiera

För på extrema punkter i T n har vi

Från mellanvärdesatsen har f n ( x ) minst n rötter. Detta är dock omöjligt, eftersom f n ( x ) är ett polynom av grad n - 1 , så grundläggande teorem om algebra innebär att det har högst n - 1 rötter.

Anmärkning

Genom Equioscillation -satsen , bland alla polynom med grad n , minimerar polynom f || f || [−1,1] om och bara om det finns n + 2 punkter −1 ≤ x 0 < x 1 <⋯ < x n + 1 ≤ 1 så att | f ( x i ) | = || f || .

Naturligtvis kan nollpolynomet på intervallet [−1,1] närma sig själv och minimerar -normen.

Ovan, dock | f | når sitt maximum endast n + 1 gånger eftersom vi söker efter det bästa polynomet av grad n ≥ 1 (därför kan teorem som framkallats tidigare inte användas).

Övriga fastigheter

Chebyshev -polynomen är ett specialfall av ultraljuds- eller Gegenbauer -polynomen , som själva är ett specialfall av Jacobi -polynomen :

För varje icke -negativt heltal n är T n ( x ) och U n ( x ) båda polynom av grad n . De är jämna eller udda funktioner för xn är jämnt eller udda, så när det skrivs som polynom av x har det bara jämna eller udda gradtermer. Faktiskt,

och

Den ledande koefficienten för T n är 2 n - 1 om 1 ≤ n , men 1 om 0 = n .

T n är ett specialfall av Lissajous -kurvor med frekvensförhållande lika med n .

Flera polynomiska sekvenser som Lucas polynom ( L n ), Dickson polynom ( D n ), Fibonacci polynom ( F n ) är relaterade till Chebyshev polynom T n och U n .

Chebyshev -polynomen av det första slaget tillfredsställer förhållandet

vilket lätt bevisas från produkt-till-sum-formeln för cosinus. Polynomen av det andra slaget tillfredsställer liknande förhållande

(med definitionen U −1 ≡ 0 enligt konvention).

Liknar formeln

vi har den analoga formeln

För x ≠ 0 ,

och

vilket följer av att detta per definition gäller x = e .

Definiera

Då pendlar C n ( x ) och C m ( x ) polynom:

som framgår av den abeliska häckegenskapen som anges ovan.

Generaliserade Chebyshev -polynom

De gener tjebysjovpolynom T en definieras av

där en är inte nödvändigtvis ett heltal, och 2 F 1 ( a , b , c ; z ) är den gaussiska hypergeometriska funktionen ; som ett exempel, . Power -serien expansion

konvergerar för .

Exempel

Första sorten

De första några Chebyshev -polynomen av det första slaget inom domänen −1 < x <1 : Den platta T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 4 och T 5 .

De första några Chebyshev -polynomen av det första slaget är OEISA028297

Andra sorten

De första några Chebyshev -polynomen av det andra slaget inom domänen −1 < x <1 : Flat U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 och U 5 . Även om det inte syns i bilden är U n (1) = n + 1 och U n (−1) = ( n + 1) ( - 1) n .

De första några Chebyshev -polynomen av det andra slaget är OEISA053117

Som grunduppsättning

Den icke-släta funktionen (överst) y = -x 3 H ( -x ) , där H är Heaviside-stegfunktionen , och (botten) den femte delsumman av dess Chebyshev-expansion. Den sjunde summan går inte att skilja från den ursprungliga funktionen vid grafens upplösning.

I det lämpliga Sobolev -utrymmet bildar uppsättningen Chebyshev -polynom en ortonormal grund , så att en funktion i samma utrymme på -1 ≤ x ≤ 1 kan uttryckas via expansionen:

Vidare, som nämnts tidigare, bildar Chebyshev -polynomen en ortogonal grund som (bland annat) innebär att koefficienterna a n enkelt kan bestämmas genom applicering av en inre produkt . Denna summa kallas en Chebyshev -serie eller en Chebyshev -expansion .

Eftersom en Chebyshev -serie är relaterad till en Fourier -cosinusserie genom en förändring av variabler, har alla satser, identiteter etc. som gäller Fourier -serier en Chebyshev -motsvarighet. Dessa attribut inkluderar:

  • Chebyshev -polynomen bildar ett komplett ortogonalt system.
  • Chebyshev -serien konvergerar till f ( x ) om funktionen är bitvis smidig och kontinuerlig . Jämnhetskravet kan i de flesta fall lindras - så länge det finns ett begränsat antal diskontinuiteter i f ( x ) och dess derivat.
  • Vid en diskontinuitet kommer serien att konvergera till genomsnittet av höger och vänster gräns.

Överflödet av satser och identiteter ärvda från Fourier -serier gör Chebyshev -polynomen till viktiga verktyg i numerisk analys ; till exempel är de de mest populära allmänna basfunktionerna som används i spektralmetoden , ofta till förmån för trigonometriska serier på grund av generellt snabbare konvergens för kontinuerliga funktioner ( Gibbs fenomen är fortfarande ett problem).

Exempel 1

Tänk på Chebyshev -expansionen av loggen (1 + x ) . Man kan uttrycka

Man kan hitta koefficienterna a n antingen genom applicering av en inre produkt eller genom det diskreta ortogonalitetstillståndet. För den inre produkten,

vilket ger

Alternativt, när den inre produkten av den approximerade funktionen inte kan utvärderas, ger det diskreta ortogonalitetstillståndet ett ofta användbart resultat för ungefärliga koefficienter,

där δ ij är Kronecker delta -funktionen och x k är N Gauss – Chebyshev -nollorna i T N ( x ) :

För alla N ger dessa ungefärliga koefficienter en exakt approximation till funktionen vid x k med ett kontrollerat fel mellan dessa punkter. De exakta koefficienterna erhålls med N = ∞ , vilket representerar funktionen exakt vid alla punkter i [−1,1] . Konvergenshastigheten beror på funktionen och dess jämnhet.

Detta gör att vi kan beräkna de ungefärliga koefficienterna a n mycket effektivt genom den diskreta cosinustransformationen

Exempel 2

För att ge ett annat exempel:

Delsummor

Delsummorna på

är mycket användbara vid tillnärmning av olika funktioner och i lösningen av differentialekvationer (se spektralmetod ). Två vanliga metoder för att bestämma koefficienterna a n är genom användning av den inre produkten som i Galerkins metod och genom användning av samlokalisering som är relaterad till interpolering .

Som interpolant erhålls vanligtvis N -koefficienterna för ( N - 1) delsumman på Chebyshev – Gauss – Lobatto -punkterna (eller Lobatto -nätet), vilket resulterar i minimifel och undviker Runges fenomen som är associerat med ett enhetligt rutnät. Denna samling poäng motsvarar extrema av högsta ordningens polynom i summan, plus slutpunkterna och ges av:

Polynom i Chebyshev -form

Ett godtyckligt polynom av grad N kan skrivas i termer av Chebyshev -polynomen av det första slaget. Ett sådant polynom p ( x ) har formen

Polynom i Chebyshev -form kan utvärderas med hjälp av Clenshaw -algoritmen .

Skiftade Chebyshev -polynom

Förskjutna Chebyshev -polynom av det första slaget definieras som

När argumentet för Chebyshev -polynomet ligger inom intervallet 2 x - 1 ∈ [−1, 1] är argumentet för det skiftade Chebyshev -polynomet x[0, 1] . På samma sätt kan man definiera skiftade polynom för generiska intervall [ a , b ] .

Se även

Referenser

Källor

externa länkar