Acceleration - Acceleration

Acceleration
Gravitation gravita grave.gif
I vakuum (inget luftmotstånd ) får föremål som lockas av jorden hastighet i jämn takt.
Vanliga symboler
a
SI -enhet m/s 2 , m · s −2 , m s −2
Avledningar från
andra mängder
Dimensionera

I mekaniken , accelerationen är hastigheten av förändringen av hastigheten för ett objekt med avseende på tiden. Accelerationer är vektormängder (genom att de har storlek och riktning ). Orienteringen av ett objekts acceleration ges av orienteringen av nettokraften som verkar på det objektet. Storleken på ett objekts acceleration, som beskrivs av Newtons andra lag , är den kombinerade effekten av två orsaker:

Den SI- enhet för accelerationen är meter per sekund i kvadrat ( m⋅s -2 , ).

Till exempel, när ett fordon startar från stillastående (nollhastighet, i en tröghetsram ) och färdas i en rak linje med ökande hastigheter, accelererar det i färdriktningen. Om fordonet svänger sker en acceleration mot den nya riktningen och ändrar dess rörelsevektor. Fordonets acceleration i dess nuvarande rörelseriktning kallas en linjär (eller tangentiell under cirkulära rörelser ) acceleration, den reaktion som passagerarna ombord upplever som en kraft som trycker tillbaka dem i sina säten. Vid riktningsändring kallas den verkande accelerationen för radiell (eller ortogonal under cirkulära rörelser) acceleration, den reaktion som passagerarna upplever som en centrifugalkraft . Om fordonets hastighet minskar är detta en acceleration i motsatt riktning och matematiskt en negativ , ibland kallad retardation , och passagerare upplever reaktionen på retardation som en tröghetskraft som driver dem framåt. Sådana negativa accelerationer uppnås ofta genom återbränning i rymdfarkoster . Både acceleration och retardation behandlas likadant, de är båda förändringar i hastighet. Var och en av dessa accelerationer (tangentiell, radiell, retardation) känns av passagerare tills deras relativa (differential) hastighet neutraliseras med hänvisning till fordonet.

Definition och egenskaper

Kinematiska mängder av en klassisk partikel: massa m , position r , hastighet v , acceleration a .

Genomsnittlig acceleration

Acceleration är hastigheten för hastighetsändring. Vid vilken punkt som helst på en bana ges accelerationens storlek av hastighetsförändringen i både storlek och riktning vid den punkten. Den sanna accelerationen vid tidpunkten t finns i gränsen som tidsintervallet Δ t → 0 för Δ vt

Ett objekt genomsnittliga acceleration under en period av tid är dess förändring i hastighet dividerad med längden av perioden . Matematiskt,

Omedelbar acceleration

Nedifrån och upp :
  • en accelerationsfunktion a ( t ) ;
  • integralen i accelerationen är hastighetsfunktionen v ( t ) ;
  • och integriteten för hastigheten är avståndsfunktionen s ( t ) .

Omedelbar acceleration är under tiden gränsen för den genomsnittliga accelerationen över ett oändligt litet tidsintervall. I termerna för beräkning är momentan acceleration derivatet av hastighetsvektorn med avseende på tiden:

Eftersom acceleration definieras som derivat av hastighet, v , med avseende på tid t och hastighet definieras som derivat av position, x , med avseende på tid, kan acceleration betraktas som det andra derivatet av x med avseende på t :

(Här och på andra ställen, om rörelse är i en rak linje , kan vektormängder ersättas med skalare i ekvationerna.)

Genom den grundläggande satsen för beräkning kan man se att integralen i accelerationsfunktionen a ( t ) är hastighetsfunktionen v ( t ) ; det vill säga området under kurvan för en acceleration mot tid ( a vs. t ) graf motsvarar hastighet.

Likaledes, integralen av jerk funktionen j ( t ) , derivatet av accelerationsfunktionen, kan användas för att hitta acceleration vid en viss tid:

Enheter

Acceleration har måtten hastighet (L/T) dividerat med tid, dvs L T −2 . Den SI- enheten för acceleration är meter per sekundkvadrat (ms -2 ); eller "meter per sekund per sekund", eftersom hastigheten i meter per sekund ändras med accelerationsvärdet, varje sekund.

Andra former

Ett föremål som rör sig i en cirkulär rörelse - till exempel en satellit som kretsar runt jorden - accelererar på grund av rörelsens riktningsändring, även om dess hastighet kan vara konstant. I detta fall sägs det genomgå centripetal (riktad mot mitten) acceleration.

Korrekt acceleration , accelerationen av en kropp i förhållande till ett fritt fall, mäts med ett instrument som kallas en accelerometer .

I den klassiska mekaniken , för en kropp med konstant massa är (vektor) acceleration av kroppens tyngdpunkt i proportion till nettokraften vektorn (dvs summan av alla krafter) som verkar på den ( Newtons andra lag ):

där F är nettokraften som verkar på kroppen, m är kroppens massa och a är accelerationens mittpunkt. När hastigheterna närmar sig ljusets hastighet blir relativistiska effekter allt större.

Tangentiell och centripetal acceleration

En pendlande pendel, med hastighet och acceleration markerad. Den upplever både tangentiell och centripetal acceleration.
Komponenter av acceleration för en krökt rörelse. Den tangentiella komponenten a t beror på förändringen i hastigheten för traversal och pekar längs kurvan i hastighetsvektorns riktning (eller i motsatt riktning). Den normala komponenten (även kallad centripetalkomponent för cirkulär rörelse) a c beror på förändringen i hastighetsvektorns riktning och är normal för banan och pekar mot banans krökningscentrum.

Hastigheten hos en partikel som rör sig på en krökt bana som en funktion av tiden kan skrivas som:

med v ( t ) lika med färdhastigheten längs banan, och

en enhetsvektor som tangerar vägen som pekar i rörelseriktningen vid den valda tidpunkten. Med hänsyn till både den förändrade hastigheten v ( t ) och den ändrade riktningen av u t , kan accelerationen av en partikel som rör sig på en krökt bana skrivas med hjälp av kedjereglerna för differentiering för produkten av två tidsfunktioner som:

där u n är enhetens (inåt) normala vektor till partikelns bana (kallas även huvudnormalen ), och r är dess momentana krökningsradie baserat på den osculerande cirkeln vid tidpunkten t . Dessa komponenter kallas tangentiell acceleration och normal eller radiell acceleration (eller centripetalacceleration i cirkulär rörelse, se även cirkulär rörelse och centripetalkraft ).

Geometrisk analys av tredimensionella rymdkurvor, som förklarar tangent, (huvud) normal och binormal, beskrivs av formlerna Frenet – Serret .

Speciella fall

Enhetlig acceleration

Beräkning av hastighetsskillnaden för en enhetlig acceleration

Uniform eller konstant acceleration är en typ av rörelse där ett objekts hastighet förändras lika mycket under varje lika stor tidsperiod.

Ett ofta citerat exempel på enhetlig acceleration är det för ett objekt i fritt fall i ett enhetligt gravitationsfält. Accelerationen av en fallande kropp i frånvaro av motstånd mot rörelse beror endast på gravitationens fältstyrka g (kallas även acceleration på grund av gravitationen ). Genom Newtons andra lag i kraft som verkar på en kropp ges av:

På grund av de enkla analytiska egenskaperna i fallet med konstant acceleration finns det enkla formler som rör förskjutningen , initiala och tidsberoende hastigheter och acceleration till tiden som har gått :

var

  • är den förflutna tiden,
  • är den första förskjutningen från ursprunget,
  • är förskjutningen från ursprunget vid tidpunkten ,
  • är initialhastigheten,
  • är hastigheten vid tidpunkten och
  • är den enhetliga accelerationshastigheten.

I synnerhet kan rörelsen upplösas i två ortogonala delar, en med konstant hastighet och den andra enligt ovanstående ekvationer. Som Galileo visade är nettoresultatet parabolisk rörelse, som beskriver t.ex. g., en projektils bana i ett vakuum nära jordens yta.

Cirkulär rörelse

Placera vektorn r , pekar alltid radiellt från ursprunget.
Hastighetsvektor v , som alltid tangerar rörelsens väg.
Accelerationsvektor a , inte parallell med den radiella rörelsen utan förskjuten av vinkel- och Coriolis -accelerationerna, inte heller tangent till vägen utan förskjuten av centripetala och radiella accelerationer.
Kinematiska vektorer i plana polära koordinater . Observera att inställningen inte är begränsad till 2d -utrymme, utan kan representera det osculerande planplanet i en punkt på en godtycklig kurva i vilken högre dimension som helst.

I likformig cirkulär rörelse , som rör sig med konstant hastighet längs en cirkulär bana, upplever en partikel en acceleration till följd av förändringen av hastighetsvektorns riktning, medan dess storlek förblir konstant. Derivatet av placeringen av en punkt på en kurva med avseende på tid, dvs dess hastighet, visar sig alltid vara exakt tangentiell med kurvan, respektive ortogonal med radien i denna punkt. Eftersom hastigheten i tangentiell riktning inte ändras i enhetlig rörelse måste accelerationen vara i radiell riktning och peka på cirkelns mitt. Denna acceleration ändrar ständigt riktningen för hastigheten för att vara tangent i den närliggande punkten och roterar därigenom hastighetsvektorn längs cirkeln.

  • För en given hastighet är storleken på denna geometriskt orsakade acceleration (centripetalacceleration) omvänt proportionell mot cirkelns radie och ökar som kvadraten för denna hastighet:
  • Observera att för en given vinkelhastighet är centripetalaccelerationen direkt proportionell mot radie . Detta beror på beroende av hastigheten på radien .

Att uttrycka centripetalaccelerationsvektor i polära komponenter, där är en vektor från cirkelns mitt till partikeln med storleken lika med detta avstånd, och med tanke på accelerationens orientering mot mitten, ger

Som vanligt vid rotationer kan en partikels hastighet uttryckas som en vinkelhastighet med avseende på en punkt på avståndet som

Således

Denna acceleration och partikelns massa bestämmer den nödvändiga centripetalkraften , riktad mot mitten av cirkeln, som nettokraften som verkar på denna partikel för att hålla den i denna enhetliga cirkelrörelse. Den så kallade ' centrifugalkraften ', som verkar verka utåt på kroppen, är en så kallad pseudokraft som upplevs i kroppens referensram i cirkulär rörelse, på grund av kroppens linjära momentum , en vektor som tangerar cirkeln rörelse.

I en ojämn cirkulär rörelse, dvs. hastigheten längs den krökta vägen förändras, har accelerationen en komponent som inte är noll tangentiell till kurvan och är inte begränsad till huvudnormalen , som riktar sig till mitten av den osculerande cirkeln, att bestämmer radien för centripetalacceleration. Den tangentiella komponenten ges av vinkelacceleration , dvs förändringstakten för vinkelhastigheten gånger radien . Det är,

Tecknet på accelerationens tangentiella komponent bestäms av tecken på vinkelacceleration ( ), och tangenten är alltid riktad i rät vinkel mot radievektorn.

Relation till relativitet

Särskild relativitet

Den speciella relativitetsteorin beskriver beteendet hos objekt som reser i förhållande till andra objekt i hastigheter som närmar sig ljusets i ett vakuum. Newtons mekanik avslöjas exakt för att vara en approximation till verkligheten, giltig till stor noggrannhet vid lägre hastigheter. När de relevanta hastigheterna ökar mot ljusets hastighet, följer accelerationen inte längre klassiska ekvationer.

När hastigheterna närmar sig ljusets, minskar accelerationen som produceras av en given kraft och blir oändligt liten när ljushastigheten närmar sig; ett föremål med massa kan närma sig denna hastighet asymptotiskt , men aldrig nå den.

Allmän relativitet

Om inte ett objekts rörelsestillstånd är känt, är det omöjligt att skilja om en observerad kraft beror på gravitation eller acceleration - gravitation och tröghetsacceleration har identiska effekter. Albert Einstein kallade detta likvärdighetsprincipen och sa att endast observatörer som inte känner någon kraft alls - inklusive tyngdkraften - är motiverade att dra slutsatsen att de inte accelererar.

Konverteringar

Konverteringar mellan vanliga accelerationsenheter
Basvärde ( Gal eller cm/s 2 ) ( ft/s 2 ) ( m/s 2 ) ( Standard gravitation , g 0 )
1 Gal eller cm/s 2 1 0,032 8084 0,01 0,001 019 72
1 fot/s 2 30.4800 1 0,304 800 0,031 0810
1 m/s 2 100 3.280 84 1 0,101 972
1 g 0 980.665 32.1740 9.806 65 1

Se även

Referenser

externa länkar